云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何（19）.doc

1、241. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点，PD 面 AC，PD=AD= ，设点 Cl到面 PAB 的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则（ ）（A） d1 d2（B）d 1 d2 （C）d 1 d2（D）d 2d1l lll解析： ， ，故 d2d1 ，选 D。l1l32l242.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN= （1 ）求 MN 的长；a).20(（2）当 为何值时， MN 的长最小； （3 ）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面

2、 MNB 所成的二面角 的大小。 来源:Z#xx#k.Com解析：（1）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, , , 即 , 2BFAC21,aBQ2aBC 2)1(PQMN )20(1)()( 222 aa（2）由（1）知: ，22MNa时 ，当 的 中 点 时 ，分 别 移 动 到即 BFAC,来源:学科网的 长 最 小 ， 最 小 值 为MN(3)取 MN 的中点 G，连接 AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BG M

3、N，AGB 即为二面角 的平面角。又 ，所以由余弦定理有46BGA。故所求二面角 。31462)(cos2 )31arcos(A FDB ECNMQPABC DE FGH PMN243. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所成的角为 。)20(点 M 在 AC 上，点 N 在 BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN/面 BCE ; (2)求证:MN AB; (3)求 MN 的最小值.解析：(1)如图,作 MG/AB 交 BC 于 G, NH/AB 交 BE 于 H, MP/BC 交 AB 于 P, 连PN, GH , 易证 MG/NH,且 MG=NH, 故 MG

4、NH 为平行四边形,所以 MN/GH , 故MN/面 BCE ;(2)易证 AB 面 MNP, 故 MN AB ;(3) 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角 ,即 ,设 AP=x , 则MPN PNBP=ax , P=ax , 所以： 来源:学。科。cos)(2)(2xaxMN网 Z。X。X 。 K，22)cos1()(cos1(2aax故当 时，有最小值 2x )cs(2244.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=x ,BN=y, （1）求 MN 的长(用 x,

5、y 表示)；（2）求 MN 长的最小值，该最小值是).2,0(yx否是异面直线 AC，BF 之间的距离。来源:学, 科,网解析：在面 ABCD 中作 MP AB 于 P，连 PN，则 MP 面 ABEF，所以MP PN，PB=1-AP= 在 PBN 中，由余弦定理得： PN2=x20245cos)(yx，在 中，MN=xy21PMNRt xyxPN2221)(A B F ECD P NM；122xyx ).2,0(y（2）MN ，故当 ，2 31)2(43)(2x32x时，MN 有最小值 。且该最小值是异面直线 AC，BF 之间的距离。3y3245.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，

6、点 P 是 DD1 的中点，且截面 EAC 与底面ABCD 成 450 角，AA 1=2a，AB=a ，（1 ）设 Q 是 BB1 上一点，且 BQ a，求证：2DQ 面 EAC；（2）判断 BP 与面 EAC 是否平行，并说明理由？（3）若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动，并且总保持 AMBP，试确定动点 M 所在的位置。解析：（1）证：首先易证 AC DQ，再证 EO DQ（O 为AC 与 BD 的交点）在矩形 BDD1B1 中，可证 EDO 与 BDQ都是直角三角形，由此易证 EO DQ，故 DQ 面 EAC 得证；（2）若 BP 与面 EAC 平行，则可得 BP/EO，在三

7、角形 BPD中，O 是 BD 中点，则 E 也应是 PD 中点，但PD= DD1=a，而 ED=DO= BD= a，故 E 不是 PD 中点，因此 BP 与面 EAC21不平行；（3）易知，BP AC，要使 AM BP，则 M 一定在与 BP 垂直的平面上，取 BB1 中点N，易证 BP 面 NAC，故 M 应在线段 NC 上。246.如图，已知平行六面体 的底面 ABCD 是菱1DCBA形，且 ，（1）证明： 011 6DB； C1（II）假定 CD=2， ，记面 为 ，面 CBD 为 ，求231CB1二面角 -BD -的平面角的余弦值；（III）当 的值为多少时，能使 ？请给出证明. 解析

8、：（I）证明：1DDCA11平 面连结 、AC，AC 和 BD 交于. ，连 结 ， 四边形 ABCD 是菱形，CAO1PA BCDA1B1C1D1QEONAC BD，BC=CD ， 可证 ，,11DCBDCB11， DCB1故 ，但 ACBD，所以 ，从而 ； O1 1A面1（II）解：由（ I）知 ACBD， ， 是二面角 BD 的平面角，BDOC1C1在 中，BC=2 ， ， ，BC1231016OCB=60， ，故 C1O=2O4932121 OBC，即 C1O=C1C，作 ，垂足为 H，点 H 是.C 的中点，3且 ，所以 ;2H3cos11（III）当 时，能使1CDBDCA11平

9、 面证明一： ，所以 ，又 ，由此可11CDB11得 ，三棱锥 是正三棱锥.， DCBBDC1来源:学科网 ZXXK247.设 相交于 G.， ，且 ，所以 如图，已OA1与 A/1121：OC:1O知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，求异面直线 A1C1与 BD1的距离.来源:学科网解析：本题的关键是画出 A1C1与 BD1的公垂线，连 B1D1交 A1C1于 O，在平面 BB1D1内作OMBD 1，则 OM 就是 A1C1与 BD1的公垂线，问题得到解决.解 连 B1D1交 A1C1于 O，作 OMBD 1于 M.来源:Zxxk.Com A 1C1B 1D1，BB 1A 1C1

10、，BB 1B 1D1B 1. A 1C1平面 BB1D1. A 1C1OM，又 OMBD 1. OM 是异面直线 A1C1与 BD1的公垂线.在直角 BB 1D1中作 B1NBD 1于 N. BB 1B1D1B 1NBD1，a aB 1N a，23 B 1N a,OM B1N a.366故异面直线 A1C1与 BD1的距离为 a.评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂 直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.248. 已知：A 1、B 1、C 1和 A2、B 2、C 2分别是两条异面直线 l1和 l

11、2上的任意三点，M、N、R、T 分别是 A1A2、B 1A2、B 1B2、C 1C2的中点.求证：M、N、R、T 四点共面.证明 如图，连结 MN、NR，则 MNl 1,NRl 2，且 M、N、R 不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知 l1l 2与条件矛盾). MN、NR 可确定平面 ，连结 B1C2，取其中点 S.连 RS、ST，则 RSl 2，又 RNl 2， N、R、S 三点共线.即有 S，又STl 1，MNl 1，MN ST，又 S， ST . M、N、R、T 四点共面. =2：1GO又 是正三角形 的 BD 边上的高和中线,点 G 是正三角形 的中心.故OC1BD1 BDC1，

12、即 。G面CA1面证明二：由（I）知， ， ， 来源: 学_ 科_网1面 AB1当 时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同 的证法可得 ，1CDCD1CAB1又 ，所以 。 1BBCA11面249. 如果把两条异面直线看成“一对” ，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有( )来源:学,科,网A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力.解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧棱，可以且只有与 4 条底面上的棱

13、组成 4 对异面直线，又由共 6 条侧棱，所以异面直线共 6424 对.解法二：六棱锥的棱所在 12 条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条，侧棱所在直线也有 6 条，各取一条配成一对，共 6636 对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内 的 6 条直线有公共点的都是 2 条，所以，在 36 对中不成异面直线的共有 6212 对.所以，六棱锥棱所在的12 条直线中，异面直线共有 36-1224 对.250. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )来源:Z_xx_k.ComA.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.解法一：设两条异面直线分别为 l1，l 2，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图1，也可能异面，如图 2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面 ，两条平行线与两条异面直线 l1与 l2的四个交点均在 内，则两异面直线 l1与 l2也在 内，这是不可能的.应选 D.解法二：利用排除法，容易发现，分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于这点可以排除选择选 A、B、C.故选 D.