1、22初中数学竞赛辅导资料（10）二元一次方程的整数解甲内容提要1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2， 二元一次方程整数解的求法
2、：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解） 。k 叫做参变数。方法一，整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x= = (1) , 51yyy2510设 是整数） ，则 y=1-5k (2) , k(把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是 （k 是整数）yx512方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解 则通解是 （x 0,y0 可用观察法）0yxakyb03， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 用观察法直接写出。乙例题例 1 求方程 5x9
3、y=18 整数解的能通解解 x= 5325310598yyy23设 （k 为整数） ，y=35k, 代入得 x=99k y53原方程整数解是 （k 为整数） yx539又解：当 x=o 时，y= 2，方程有一个整数解 它的通解是 （k 为整数）0yxyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2，求方程 5x+6y=100 的正整数解解：x= (1)，520561y设 (k 为整数)，则 y=5k,(2)ky把（2）代入（1）得 x=20-6k， 解不等式组0yx0562k得 0k ,k 的整数解是 1，2，3，6正整数解是 54yx085yx例 3，甲种书每本 3 元，乙种书
4、每本 5 元，38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得3x+5y=38 （x,y 都是正整数）x1 时，y=7， 是一个整数解71通解是 （k 为整数）y35解不等式组 得解集是 整数 k=0，1，20713751k24把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解 71yx461yx答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。丙练习 101， 求下列方程的整数解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42, 求方程的正整数解：5x+7y=87, 5x+3y=1103，一根长
5、 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4， 兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？7 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解：y= 1 4 2x= 3y返回 目录 参 考答案 上一页 下 一页
