14-9一元二次方程（新课）.doc

1、14-9 一元二次方程（新课）1、一元二次方程的概念方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a 0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程 3x（x-1） =5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项练习:判断下列方程是否为一元二次方程？

2、(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2- 5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例 2求证：关于 x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程一元二次方程的根1方程 x（x-1）=2 的两根为（ ） Ax 1=0，x 2=1 Bx 1=0，x 2=-1 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=-1，x 2=22方程 ax（x-b ）+ （b-x）=0 的根是（ ） Ax 1=b， x2=a Bx 1=b，x 2= Cx 1=a，x 2= Dx 1=a2，x 2=b2aa2、一元二次方程的解法1

3、 直接开方法运用开平方法解形如（x+m ） 2=n（n0）的方程（1）x 2-8x+_=（x-_） 2；（2）9x 2+12x+_=（3x+_） 2；（3）x2+px+_=（x+_） 2例 1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 练习 1若 x2-4x+p=（x+q ） 2，那么 p、q 的值分别是（ ） Ap=4 ，q=2 Bp=4 ，q=-2 Cp=-4， q=2 Dp=-4，q=-22方程 3x2+9=0 的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根2 配方法通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元

4、一次方程来解（可直接化成 x2=p（p0）或（mx+n） 2=p（p0）的一元二次方程的解法）例 1用配方法解下列关于 x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x- =0 13 求根公式法已知 ax2+bx+c=0（a 0） ，试推导它的两个根x1= ，x 2= (这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)4bc24bac解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为 1，得 x2+ x=-bac配方，得：x 2+ x+（ ） 2=- +（ ） 2即（x+ ） 2=ba4c4a 20，4a2 0, 当 b2-4ac0 时 024ac（x+ ） 2=( )2ac直接开平方，得：x+

5、= 即 x=b4a24bacx 1= ，x 2=24bac2c由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根 24bca（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法例 1用公式法解下列方程（1）2x 2-x-1=0 （2）4x 2-3x+2=0练习 1 若关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_2 设 x1，

6、x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，试推导 x1+x2=-，x 1x2= ；bac4 因式分解法因式分解的方法：提公因式法、运用公式法、 （十字相乘法）3、一元二次方程根的情况判别用 b2-4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax2+bx+c=0（a0）的根的情况求根公式：x= ，当 b2-4ac0 时，根据平方根的意义， 等于一24bac 24bac个具体数，所以一元一次方程的 x1= x 1= ，即有两个不24ac2201515+2x20+2x相等的实根当 b2-4ac=0 时， 根据平方根的意义 =0，所以 x1=x2= ，即有24bacba两个相等的实根；

7、当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） 有两个不相等实数根即 x1= ，x 2= 4ac24bac（2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等实数根即 x1=x2=ba（3）当 b2-4ac2 Ck2 且 k1 Dk 为一切实数(2010 湖北省荆门市)15如果方程 ax22x 10 有两个不等实根，则实数 a 的取值范围是例 3（北京 2008）23已知：关于 的一元二次方程 2()20()mxxm（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 ， （其中 ） 若 是关于 的函数，且1x212xym，求

8、这个函数的解析式；1yx（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 的取值范围满足什么条件时，my四、一元二次方程的应用1 几何问题例一块长方形草地的长和宽分别为 20cm 和 15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为 246cm2,求小路的宽度. 练习 1 如图,在一块长 92m,宽 60m 的矩形耕地上挖三条水渠 ,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块 ,水渠应挖多宽.BA北东B练习 2 某军舰以 20 节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以 30 节的速度由南向北航行,它能侦察出周围 50 海里(包括 50 海里) 范围

9、内的目标.如图 ,当该军舰行至 A 处时,电子侦察船正位于 A 处的正南方向的 B 处,此时 AB=90 海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到? 如果不能,请说明理由.2 增长率问题A(1+x)=B例 1 某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是100 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为 ，可列方程为x例 2 甲公司前年缴税 40 万元，今年缴税 48.4 万元.该公司缴税的年平均增长率为多少3 利润问题例某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20 件,每件盈利 40 元.为了尽快减少

10、库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低 1 元时,平均每天能多售出 2 件.商场要想平均每天盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?练习(2007 青海课改，8 分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 4 件，若商场平均每天盈利 2 100元，每件衬衫应降价多少元？4 排列问题一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了 66 次手.这次会议到会的人数是多少?5、作业1，23 已知：关于 的一元二次方程 x23(1)230mxx()m为 实 数(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；（2）求证：无论 为何值，方程总有一个固定的根；（3）若 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 的值.m2，23已知关于 的方程 .x2(3)40mx（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于 4 且小于 8，求 m 的取值范围；3，23 已知：关于 x 的方程 322kx求证：方程 032k总有实数根；若方程 xk有一根大于 5 且小于 7，求 k 的整数值；