初一.个位数与完全平方数.doc

1、40文件 sxjsck0007 .doc 科目 数学关键词 初一/ 个位数/平方数标题 个位数与完全平方数 内容个位数与完全平方数1 个位数正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系.下面首先介绍其周期性及一些相关性质，通过例题来说明它的应用.关于个位周期我们用下表说明：（此处无表）注：表中 G(a)、G(a n)分别表示整数 a 及 an 的个位，当 n=4k+r(r=0，1，2，3，kN)时，a4k+r 时，a 4k+r 的个位与 a 的个位相同.下面两条性质是显然的：性质 1 和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字.性质 2 积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字.（1） 确定高次

2、幂的个位数及连乘积的个位数.例 1 （杭州首届“永是杯”初二数学竞赛题）198719871988198819891989 的个位数是多少?解 19871987=19874496+3，个位为 3；19881988=19884497，个位为 6；19891989=19894497+1，个位为 9，1987 19871988198819891989 个位数是 369 的个位数即为 2.例 2 求 的个位数字， 个n74解 令 M1=4747，M 2=4747， ，M n= 个n47则 M1 的个位数=47 47 的个位数=47 411+3 的个位数=47 3 的个位数=3，M2 的个位数=47 M1

3、 的个位数=47 47 的个位数=3，M n 的个位数=47 Mn-1 的个位数=3.一般地，我们有关于高次幂的一个有趣性质：若 b、c 均为奇数，则 Mbc 的个位数=M 的个位数.对 b、c 取其它奇偶情况时，读者不妨自己作出结论，并加以证明.（2） 利用个位数来研究幂指数从上表中我们易得下面两个性质：1.任何整数的 4k+2 次方个位数不可能为 2、3、7、8.（只可能是 0、1、4、5、6、9）2.任何整数的 4k+4 次方个位数不可能是 2、3、4、7、8、9.（只可能是 1、5、6）例 3 试证明 1+2+3+n，这 n 个连续的自然数的和的个位数不可能是 2、4、7、9.证明 1

4、+2+3+n= ，由穷举法易得 n2+n 个位数可能是 2、6、0，故2)1(2个位只能是 1、6、3、8、0、5，不可能是 2、4、7、8.2n41例 4 证明方程 x12-5y7-4=0 不可能有整数解证明 x 12 的个位数为 1、6、5，5y 7 个位数只能是 0 或 5，显然 x12-5y7-4 永远不可能等于0，故方程无解.（3） 判定一个整数是否能被整除例 5 已知整数 a 不能被 5 整除，试证明 a4-1 能被 5 整除.证明 依题意知 a 的个位数不能是 0 或 5.(i) 当 a 的个位数为 1、3、7、9 时，a 4 的个位数均为 1，于是 a4-1 的个位数为 0(i

5、i) 当 a 的个位数为 2、4、6、8 时，a 4 的个位数均为 6，于是 a4-1 的个位数都是 5.所以无论哪种情况，a 4-1 都能被 5 整除.例 6 （匈牙利 19001901 竞赛试题）证明当且仅当指数 n 不能被 4 整除时 1n+2n+3n+4n 能被 5 整除.（其中 n 是正整数）证明 设 A=1n+2n+3n+4n，当 n=4k(k 为整数)时，1 n、3 n 的个位数均为 1，2 n、4 n 的个位均为 6，显然 5 A.当 n4k 时，若 n=4k+1，易知 A 的个位= （1+2+3+4）的个位=0，5|A；当 n=4k+2 时，A 的个位=（1+4+9+16）的

6、个位=0，5|A.当 n=4k+3 时，A 的个位=（1+8+27+64）的个位=0，5|A.综上所述仅当 n 不是 4 的倍数时 5|A.（4） 其它类型例 7 （日本 1990 年参加国际数学竞赛国内选拔赛）某正整数之平方，其末三位是非零的相同数字，求具有该性质的最小正整数.解 设所求数为 p0,p 2 既具有末三位数,则 p2 至少有三位数,p 至少有二位数.设 p=10ab(a、b 为正整数，1b5)p2=100a220ab+b2=100a2+10(2ab)+b2验证知当 b=1、3、5、4 时，p 2 的十位和个位数字奇偶性相反；当 b=2 时，p 2 的末两位数字奇偶性相同.所以所

7、求数必须形如 10a2，而 P=12 时 P2=144，末两位数字为 4.又注意 （50nx） 2=2500n+100nx+x2=100（25n 2+nx）+x 2(50n 212)2=100(25n2nx)+144.容易验证上式中当 n=1，并取“- ”号时，有 382=1444 便是符合要求的最小正整数.2 完全平方数定义 设 n 是正整数，若存在正整数 m 使 n=m2，称 n 是一个完全平方数 .与完全平方数有关的问题经常出现在国内外中学数学竞赛题及各种智力问题征解中，这些问题不仅结论奇妙，且解法耐人寻味.（1） 判断一个数是完全平方数先看一个限时一分钟解答的选择题：例 8 有四个数9

8、21438，76186，750235，2660161，其中只有_是完全平方数.在回答这一问题前，我们先介绍两条性质（请读者自己证明）性质 1 完全平方数个位数只能是 0，1，4，5，6，9 之一.性质 2 偶数平方为偶数，且能被 4 整除，奇数的平方是奇数，且被 4 除余 1.据上述性质可知，例 8 中个位数为 8；为偶数但不能被 4 整除；为奇数，但被 4 除不余 1，所以只有才是完全平方数，事实上它等于 16312.例 9 试证：12345678987654321 是完全平方数.证明 1234567898765432142= 8721381517 10100 个个个=（10 16+1015

9、+10+1）+（10 14+1013+10+1）10+（10 12+1011+10+1）10 2+（10 2+10+1）10 7+108 8732131517 1010000 .190)0)(92288 （2） 非完全平方数问题例 10（第 27 届国际中学生奥林匹克竞赛题）设正整数 d 不等于 2、5、13.证明在集合2，5，13.d中可以找到两个不同元素 a、b 使得 ab-1 不是完全平方数.证明 因为 25-1=32，213-1=5 2，513-1=8 2，所以只要证明 2d-1，3d-1，13d-1 不都是完全平方数.用反证法，设2d-1=x2 5d-1=y2， 13d-1=z3 其

10、中，x，y，Z，为正整数，由知 x 为奇数，设 x=2n-1, 于是2d-1=（2n-1） 2,d=2n2-2n+1,d 为奇数,从而由、知 y、z 为偶数，设 y=2p,z=2q,将其代入，并-，除以 4 得2d=q2-p2=(q+p)(q-p).p，q 具有相同的奇偶性，故 2d 应是 4 的倍数，d 应为偶数，这与前面推知 d 为奇数矛盾，从而知原命题成立.（3） 关于存在性问题例 11 是否存在自然数 n 与 d，当 2n2 能被 d 整除时，使得 n2+d 是完全平方数.解 假设存在自然数 n，d 使 n2+d 是一个完全平方数，则令 n2+d=a2.由题设 2n2 能被 d 整除，

11、则令 2n2=kd.于是 d= ，从而 n2+ =a2，即 ka2=n2(k+2)，所以 k2d2=n2(k2+2k)，于是kk=k2+2k，因为 k2k 22k(k+1) 2,所以 k2+2k 不是完全平方数,但 是完全平方nka na数,因此 =k2+2k 不能成立,所以 n2+d 不可能是完全平方数,故这样的自然数 n、d 不存在.上述证明引用了一条关于完全平方数的一条基本性质：性质 3 两个连续自然数的完全平方数之间，不会再有完全平方数.（请读者自己证明）43关于完全平方数还有许多性质及巧妙应用还有待读者去挖掘和发现.例 12 由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是某个由偶数码组成的数

12、的完全平方，求这个四位数.解设四位数为 ，则 为偶数，且 a、b、c、d 均不为 0.又设它为 的平方，则abcd xy也为偶数，易知 x、y 均不为 0.xy为 4 的倍数， （ ） 2 为四位数，所以 32，即 x3.又 x 为偶数，故 x 只能在c xy4，6，8 中选取.中 d 为偶数字 y 平方后的个位数，因 2，4，6，8 平方后的个位数分别为abd4，6，6，4，故 d 只能在 4，6 中选取，但 为 4 的倍数，若 d 取 6，c 只能取奇数字，abcd这不合题意，d=4,y 只能取 2 和 8.这时 只能取 42，48，62，68，82，88，经过试乘知只有 682=4624

13、 满足条件.xy练 习 九1 填空题（1） 已知 则 A 的个位数是_. ,19898（2） 设 A= ，则 A 的个位数是_.02（3） A=122273（915） 4 的个位数是_.（4） 使得 m2+m+7 是完全平方数的所有整数 m 的积是_.（1989 年上海市初三数学竞赛题）.（1） （5） 若正数 x 的整数部分的平方等于 x 与它小数部分的积，则 _.x12 选择题（1） 设 n=(35+1)(317+1)(321+1)，则 n 的个位数字是（ ）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8（2） 数（2 48-1）可以被两个在 60 与 70 之间的数除尽，则这两个数是（ ）（A）

14、61，63 （B）61，65 （C）63，65 （D）63，67（3） 若 x 是一个完全平方数，那么它后面的第一个完全平方数是（ ）（A）x+1 (B)x2+1 (C)x2+2x+1 (D) 12x（4）能把 2n(n+1)(n+2)(n+3)+12 表示成两个自然数的平方和的自然数 n 的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）有限个（但多于 1） （D）无限多3 （第 10 届加拿大中学生数学竞赛题）设 n 是整数，如果 n2 的十位数字是 7，那么 n2 的个位数字是什么？4 （安徽省宿州市 1989 年初一竞赛题）证明：7777 1989+88881989 能被 5 整除.5 （天津市 1989 年“新蕾杯”初二竞赛题）设三个整数 a、b、c 的最大公约数是 1，且满足条件 ，求证：（a+b） 、 （a-c）和（b-c）都是完全平方数.cba16求具有下列性质的最大的完全平方数；在抹去它的个位和十位数码后仍是完全平方数，44（设抹去的两个数码不全为 0）.7有一个四位数 恰好是某个整数的平方，求这个四位数.)3(2)1(aa8一个正整数，若加上 100 是一个完全平方数；若加上 168，则是另一个完全平方数，求这个正整数.