1、172初中数学竞赛专题选讲(初三.4)非负数一、内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作 a0,读作 a 大于或等于零，即 a 不小于零.2. 初中学过的几种非负数：实数的绝对值是非负数. 若 a 是实数，则 0.实数的偶数次幂是非负数. 若 a 是实数，则 a2n0（n 是正整数）.算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若 是二次根式，则 0， a0.a一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 有两个实数根， 则 b24ac 0.若 b24ac0 (a0)， 则二次方程 ax2+bx+
2、c=0 有两个实数根.数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a 2 有最小值 0（当 a=0 时） ， 也有最小值 0（当 x=1 时）. 1x如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若 a0 且a 0， 则 a=0； 如果 ab0 且 ba 0，那么 ab=0.有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若 a，b，x 都是实数数，则 a2+b20, 0, a 2 0.bx若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如 若 （b3） 2+ =011c那么
3、 即 .012)(ca012ca5031cba二、例题例 1. 求证：方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x 4+2x2+1）+(x 2+2x+1)+4=0即（x 2+1） 2+(x+1)2=4173（x 2+1） 20，(x+1) 20，（x 2+1） 2+(x+1)20.但右边是4.不论 x 取什么实数值， 等式都不能成立.方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根.例 2. a 取什么值时，根式 有意义？)1(2)1(2aa解：二次根式的被开方数（a2）( 与(a2)(1 都是非负数，且（a2）( 与(a 2)(1 是互为相反数，)1)（a2）(
4、0. （非负数性质 2）a2=0；或 =0.a 1=2, a 2=1, a 3=1.答：当 a=2 或 a=1 或 a=1 时，原二次根式有意义.例 3. 要使等式（2 x） 2+ 0 成立，x 的值是.486（1991 年泉州市初二数学双基赛题）解：要使原等式成立（2 x） 20， 0.3148162x 1，(x40)4862（2 x） 21，且 x40.3即 解得04)x（ 493或x=3 . 答：x 的值是 3.例 4. 当 a, b 取什么实数时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？（1987 年全国初中数学联赛题）解：当0 时，方程有实数根.解如
5、下不等式：2（1a） 24(3a 2+4ab+4b2+2)08a 216ab16b 2+8a40 ， 2a2+4ab+4b22a+10，（a+2b） 2+(a 1)20 174（a+2b） 20 且(a1) 20，得（a+2b） 2+(a1) 20 只有当（a+2b） 20 且(a1) 20 不等式和才能同时成立.答：当 a=1 且 b= 时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根.1三、练习1. 已知在实数集合里 有意义，则 x=_.x32. 要使不等式（a+1） 20 成立，实数 a=_.3. 已知 0，则 a=, b=, a 100b101=_.11ba
6、4. 把根号外因式移到根号里： a =， b =， c =.15.如果 ab,那么 等于（ ）)(3xa（A） （x+a） . (B) （x+a） .b)(bxa(C) （x+a ） . (D) （x+a） .)(x（1986 年全国初中数学联赛题）6. 已知 a 是实数且使 a = , 则 x=.(1990 年泉州市初二数学双基赛题)7. 已知 a, b 是实数且 a .21b化简 后的值是.1422(1990 年泉州市初二数学双基赛题)8. 当 x=时， （x ）有最大值.3（1986 年泉州市初二数学双基赛题）9. 已知： 且 , 都是整数.求 a, c 的值.,141caa4c（198
7、9 年全国初中数学联赛题）10. 求方程 x2+y2+x2y2+6xy+4=0 的实数解.11. 求适合不等式 2x2+4xy+4y24x+40 的未知数 x 的值.12. 求证：不论 k 取什么实数值，方程 x2+(2k+1)xk 2+k=0 都有不相等的实数解.13. 比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小.17514.已知方程组 的解 x,y,z 都是非负数. 求 a 的值.azxy12练习题参考答案1. 3 2. 1 3. 1，1，1 4. ， ， 5. C3a3bc6. 0。 因为左边 a0， 右边 0。 x7. a。 b=1,a 8. x= , 最大值21239. 0,4c.4;,5,caca；10. 112yx； 12yx12. 8k 2+1 13. 用求差法， 配方（乘上 20.5）14. 1a4
