初中数学竞赛讲座(第3讲)求代数式的值.doc

1、第三讲 求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧 例 1 求下列代数式的值：分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性=0-4a 3b2-a2b-5=-41 3(- 2)2- 12(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x 2y-xyz+(2x

2、yz-x2z)+4x2?3x2y-(xyz-5x2z)=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x 2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2(-1)2(-3)-2(-1)2(-3)=12+6=18说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2) 是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，一定要注意各项符号的变化例 2 已知 a-b=-1，求 a3+3ab-b3 的值分析 由已知条件 a-b=-1，我们无法求出 a，b 的确定值，因此本题不能像例 1

3、 那样，代入 a，b 的值求代数式的值下面给出本题的五种解法解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代数式化简a 3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的解法 2 因为 a-b=-1，所以原式=(a 3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1 (a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a 2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1) 2=-1说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的解法 3 因为 a-b=-1，所以原式=a 3-

4、3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将 3ab 化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3解法 4 因为 a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a 3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a 3-b3-3ab(-1)=-1，即 a 3-b3+3ab=-1说明 这种解法是由 a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值解法 5a 3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a

5、-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1说明 这种解法是添项，凑出(a-b) 3，然后化简求值通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去 xy，然后化简所以解

6、 因为 a=3b，所以c=5a=5(3b)=15b将 a，c 代入所求代数式，化简得解 因为(x-5) 2，m都是非负数，所以由 (1)有由(2)得 y+1=3，所以 y=2下面先化简所求代数式，然后再代入求值=x 2y+5m2x+10xy2=5 22+0+10522=250例 6 如果 4a-3b=7，并且 3a+2b=19，求 14a-2b 的值分析 此题可以用方程组求出 a，b 的值，再分别代入 14a-2b 求值下面介绍一种不必求出 a，b 的值的解法解 14a-2b=2(7a-b)=2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52 x+x-1

7、+ x-2+ x-3 + x-4+x-5的值 分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有 3 个 x 和 3 个-x，这样将抵消掉 x，使求值变得容易原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9说明 实际上，本题只要 x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是 9，即它与 x 具体的取值无关例 8 若 x:y:z=3:4:7，且 2x-y+z=18，那么 x+2y-z 的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7 可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数 k，这样可以给问

8、题的解决带来便利x=3k，y=4k ，z=7k 因为2x-y+z=18，所以23k-4k+7k=18，所以 k=2，所以 x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8例 9 已知 x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值解 设 x+y=m，xy=n原式=(n-1) 2+(m-2)(m-2n)=(n-1) 2+m2-2m-2mn+4n=n 2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1) 2-2m(n+1)+m2=(n+1-m) 2=(1111+1-22) 2=(121+1-22) 2=100 2=10000说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式练习三1求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中 a=-2，b=1；的值 3已知 a=3.5，b=-0.8，求代数式6-5b-3a-2b- 8b-1 的值 4已知(a+1) 2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b 的值5已知