初中数学竞赛讲座(第9讲)“设而不求”的未知数.doc

1、第九讲 “设而不求”的未知数让我们先看一道简单的数学题 三角形的面积解 设这个三角形的斜边长度为 c，因为斜边上的中线长是 1，所以斜边长 c=2再设两条直角边的长度是 a，b ，面积是 S，那么a2+b2+2ab=6 把，代入式得4+4S=6，在这个题目中，只要求出未知数 S 的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在解题过程中，我们也根本没求 a，b 的值但是由于增设了 a，b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求 S 的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如 a， b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它

2、能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用例 2 若求 x+y+z 的值分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0说明 本例中所设的 k，就是“设而不求”的未知数例 3 已知 p，q ，r 都是 5 的倍数，r qp，且 r=p+10，试求解 不妨设 p=5k1，q=5k 2，r=5k 3，由题意可知，k 1，k 2，k 3 都是整数因为rqp ，所以 k3k 2k 1又因为r=p+10，所以 5k 3=5k

3、1+10，k3=k1+2， 所以 k 1+2k 2k 1，所以 k 2=k1+1 将，代入所求的代数式得说明 本题中 k1，k 2，k 3 均是“设而不求”的未知数a1，并且设分子：n-13=ak1 ，分母：5n+6=ak2 其中 k1，k 2 为自然数由得 n=13+ak1，将之代入得5(13+ak1)+6=ak2，即 71+5ak 1=ak2，所以 a(k 2-5k1)=71由于 71 是质数，且 a1，所以 a71，所以n=k171+13故 n 最小为 84例 5 甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21 和 17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多

4、少？解 设四个人的年龄分别记为 a，b，c，d ，根据题意有由上述四式可知比较，知，d 最大，c 最小，所以- 得所以 d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18说明 此题不必求出 a，b，c，d 的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解例 6 设有 n 个数 x1，x 2，x n，它们的值只能是 0，1，2 三个数中的一个，如果记试用 f1 和 f2 表示解 设在 x1，x 2，x n 这几个数中取值为 0 的有 s 个，取值为 1 的有 t 个，取值为 2 的有 r 个，则 s+t+r=n，0 t n，0 sn，0rn，由此得f1=t+2r，f 2=t+4r所

5、以=(2k-1)f2-(2k-1-2)f1说明 本题借助于 s，t， r 找到了 fk 与 f1，f 2 的关系表达式整除根据一个数能被 9 整除的特征有6+2+ +4+2+7=9m(m 为自然数)，即 +3=9m1(m1 为自然数 )又由于 09，0 9，则有3+321，从而有+=6 或 +=15 同理，按照一个数被 11 整除的特征有-=-2 或 - =9 与相结合，并考虑 09，0 9，故只有 =2，=4所以原自然数为 6 224 427例 8 我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数 )，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后

6、的三位数相加，最后的和是多少？=a100+b10+c-(c100+b10+a) =99a-99 c=100a-100c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+910+(10-a+c)因 k 是三位数，所以2a-c8， 1a-c-17所以 210-a+c8差对调后为k=(10-a+c)100+910+(a-c-1)，所以k+k =100(a-c-1)+910+(10-a+c)+(10-a+c)100+910+(a-c-1)=1089 故 所求为 1089说明 本例中 a，b ，c 作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值这正是“设而不求”的未知数的典型例子在列方程解应

7、用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题例 9 从两个重量分别为 12 千克(kg) 和 8 千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件 解法 1 设所切下的合金的重量为 x 千克，重 12 千克的合金的含铜百分数为p，重 8 千克的合金的含铜百分数为 q(pq)，于是有整理得 5(q-p)x=24(q-p)因为

8、 pq，所以 q-p0，因此 x=4.8，即所切下的合金重 4.8 千克解法 2 设从重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 m 千克，从重 8 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 n 千克(mn) ，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)因为 mn ，所以 n-m0，因此 x=4.8，即所切下的合金重 4.8 千克说明 在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关例 10 某队伍长 1998 米(m) ，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进 1998 米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程解法 1 设这个战士走过的路程为 s 米，所需要的时间为 t 小时(h)，消去参数 t 得解之得解法 2 设这个战士的行进速度为 V1 米/小时，队伍行进的速度为因此所以这个战士所走距离为说明 在同一个问题中，由于考虑问题的角度不同，所以增设的参数也会有所不同(如上例中的两种解法)练习九