动点最值问题解法探析.doc

1、 http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道 上修建一个泵站，分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变） ，确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：( 在线段 上时取等号) （如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一） “|定动|+|定动| ”型：两定点到一动点的距离和最小

2、通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图1-3，作一定点 关于动点 所在直线 的对称点 ，线段 （ 是另一定点）与 的交点即为距离和最小时动点 位置，最小距离和 。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形 的边长为 ， 是 的中点， 是对角线上一动点，则 的最小值是 。http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！解析： 与 关于直线 对称，连结 ，则 。连结 ,在 中， ， ，则故 的

3、最小值为例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线 的对称轴为 ，与 轴交于 、 两点，与轴 交于点 ，其中 ， 。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标。解析：（1）对称轴为 ， ，由对称性可知： 。根据 、 、 三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2） 与 关于对称轴 对称，连结 ， 与对称轴交点即为所求 点。设直线 解析式为： 。把 、 代入得， 。当 时，则2.两个定点+两个动点。http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动）

4、，并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3 如图4，河岸两侧有 、 两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为 、 ，那么 点随 点而动， 等于河宽，且 垂直于河岸。将 向上平移河宽长到 ，线段 与河北岸线的交点即为桥端 点位置。四边形 为平行四边形， ，此时 值最小。那么来往 、 两村最短路程为： 。例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ， 为边 的中点。（1）若 为边 上的一个动点，当

5、 的周长最小时，求点 的坐标；（2）若 ， 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 ，的坐标。解析：作点 关于 轴的对称点 ，则 ， 。（1）连接 交 轴于点 ，连接 ，此时 的周长最小。由 可知 ，那么 ，则 。（2）将 向左平移2个单位（ ）到 点，定点 、 分别到动点 、 的距离和等于为定点 、 到动点 的距离和，即 。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在 上截取 ，连接 交 轴于 ，四边形 为平行四边形，http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！。此时 值最小，则四边形 的周长最小。由 、可求直线

6、解析式为 ，当 时， ，即 ，则 。 （也可以用（1）中相似的方法求 坐标）（二） “|动定|+|动动| ”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短） ，且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角 中， ， ， 的平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值为 4 。解析：角平分线所在直线是角的对称轴， 上动点 关于 的对称点 在

7、上， ，当 时， 最小。http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！作 于 ，交 于 ， ，作 交 于 ，例6 如图7，四边形 是等腰梯形， 、 在轴 上， 在 轴上， ， ， ，抛物线 过 、 两点。（1）求 、 ；（2）设 是 轴上方抛物线上的一动点，它到 轴与 轴的距离之和为 ，求 的最大值；（3）当（2）中 点运动到使 取最大值时，此时记点 为 ，设线段 与 轴交于点 ，为线段 上一动点，求 到 点与到 轴的距离之和的最小值，并求此时 点的坐标。解析：（1）由 ， ， ， 可得： 、 、 ；根据 、 的坐标可求出抛物线解析式为（2）设 ，且 ，则 ，

8、用零点分段法可求得，。当 时， 。此时 ，则 。（3） 轴与直线 关于 对称，作 轴于 ，动点 关于 的对称点 在直线http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！上， ，当 垂直于直线 时， 的值最小。，根据 和 可求直线 的解析式 ，则有 。由 可知， 。作 ，过 点作 轴的平行线 ，交 于 ，那么。作 于 ，则 ，当 是 于 的交点时， 与 重合， 有最小值5。函数 ，此时 ，则 ，即 。3.“|定动 |+|动动|+|动定| ”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例7 （2009年漳州中考）如图8， ， 是 内一点， ， 、 分别是 和 上

9、的动点，求 周长的最小值。解析：分别作 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，则 ，当 、在线段 上时， 周长最小， ， 。 则 周长的最小值为例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路 垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（ ）和世界级自然保护区星斗山（ ）位于两高速公路同侧， ， 到直线 的距离为 ， 到直线 和 的距离分别为 和 。请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！解析：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 ，。当 、 在线段 上时， 最小。过 、 分别作 轴、 轴的平行线交于 。在 中， ， ，交轴于 ，交 轴于 。，而 四边形 的周长最小值为：