九类常见递推数列求通项公式方法.doc

1、龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)1递推数列通项求解方法举隅类型一： （ ）1nnapq1思路 1（递推法）： 23()nnapaqpaq 。21(npaqp 11)思路 2（构造法）：设 ，即 得 ，数列1nnapqp是以 为首项、 为公比的等比数列，则 ，na1p 11nna即 。11nnqp例 1 已知数列 满足 且 ，求数列 的通项公式。na123na1na解：方法 1（递推法）：2323()nnna1223(n 。11) 2方法 2（构造法）：设 ，即 ， 数列 是以1nna 33na为首项、 为公比的等比数列，则 ，即 。134a 1

2、42na 12类型二： 1()nf思路 1（递推法）： 2 3()()(1)()(2)(1)nn nafaffaffnf 。1if龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)2思路 2（叠加法）： ，依次类推有： 、1)naf12()nafn、 ，将各式叠加并整理得 ，23()naf21(f 1nif即 。1()nnif例 2 已知 ， ，求 。1a1nna解：方法 1（递推法）： 23()(2)1nnna n 。131()ni方法 2（叠加法）： ，依次类推有：1na、 、 ，将各式叠加并整理得1na2321a， 。12nni121()niina类型三：

3、 1()nnf思路 1（递推法）：2 3()()()(1)(2)()nn n nafaffaffnfa 。231思路 2（叠乘法）： ，依次类推有： 、1()nfa 12()naf、 ，将各式叠乘并整理得 23()naf21()f1()(3)nff，即 。ff (3)naff 1(ffa龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)3例 3 已知 ， ，求 。1a1nnan解：方法 1（递推法）：2 31nnn na a。2(1)方法 2（叠乘法）： ，依次类推有： 、 、1na12na231na、 ，将各式叠乘并整理得 ，即324a2131n4 。nn24

4、3()类型四： 11nnapqa思路（特征根法）：为了方便，我们先假定 、 。递推式对应的特征方1am2n程为 ，当特征方程有两个相等实根时， ( 、 为待2xpq 1nnpcdcd定系数，可利用 、 求得)；当特征方程有两个不等实根时 、 时，1am2n1x2( 、 为待定系数，可利用 、 求得)；当特征方程的根12nnaexfef 1am2n为虚根时数列 的通项与上同理，此处暂不作讨论。n例 4 已知 、 , ,求 。1a2316nna解：递推式对应的特征方程为 即 ，解得 、2x260x12x。设 ，而 、 ，即23x112nnexf23龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http

5、:/ (第二个问题回答 “无”)4，解得 ，即 。23ef951ef112(3)5nna类型五： （ ）1nnaprq0思路（构造法）： ，设 ，则1n1nnaq，从而解得 。那么 是以 为首1nqprprqnrpq1arpq项， 为公比的等比数列。pq例 5 已知 ， ，求 。1a12nnana解：设 ，则 ，解得 ，12nn12n123是以 为首项， 为公比的等比数列，即 ，13na62 126nna。2n类型六： （ 且 ）1()nnapf0p1思路（转化法）： ，递推式两边同时除以 得1 np，我们令 ，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。1()nnafppnabp龍嘯天下映驕陽 h

6、ttp:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)5例 6 已知 ， ，求 。12a1142nnan解： ，式子两边同时除以 得 ，令 ，则14n 412nna4nab，依此类推有 、 、12nb 112nnb23nnb，各式叠加得 ，即21 12nni12211n nnni iib。414nnnna类型七： （ ）1rnnap0a思路（转化法）：对递推式两边取对数得 ，我们令1logllogmnmnarp，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。lognmnb例 7 已知 ， ，求 。10a21nan解：对递推式 左右两边分别取对数得 ，令 ，则1lg2lnnalgnab，

7、即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即 ，12nbnb1lg012因而得 。120na类型八： （ ）1nncapd0思路（转化法）：对递推式两边取倒数得 ，那么 ，1nnpadc1nndpac龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)6令 ，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。1nba例 8 已知 ， ，求 。1412nnan解：对递推式左右两边取倒数得 即 ，令 则1nn12nna1nba。设 ，即 ， 数列 是以12nnb12nbb为首项、 为公比的等比数列，则 ，即 ，74 172nnb217n。12na类型九： （ 、 ）1nnabc

8、d00abc思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为 即 。xd2()0caxb当特征方程有两个相等实根 时，数列 即 为等差数列，12x1na12nc我们可设 （ 为待定系数，可利用 、 求得） ；当特征12nnadcc 1a方程有两个不等实根 、 时，数列 是以 为首项的等比数列，我们可1x212nax12x设 （ 为待定系数，可利用已知其值的项间接求得） ；当特征1122nnax方程的根为虚根时数列 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。na龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)7例 9 已知 ， （ ） ，求 。12a1432nana解：当

9、 时，递推式对应的特征方程为 即 ，解得n432x30x、 。数列 是以 为首项的等比数列，设1x2313na121，由 得 则 ， ，即 ，1nna23313nna从而 ， 。13na1,3,2na寒假专题常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点：递推关系的几种形式。2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】例 1 bkan1型。（1） 时， 1nna是等差数列， )(1ban（2） k时，设 )(mk mkn1比较系数： bm b 1kan是等比数列，公比为 k，首项为 1kba龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)8 11)(

10、nnkbak 11kbkbann例 2 1fan型。（1） k时， )(1nfa，若 )(f可求和，则可用累加消项的方法。例：已知 n满足 1， )1(1n求 na的通项公式。解： )(1nan n1112nan232an1231a对这（ n）个式子求和得： nn1 na12（2） 1k时，当 baf)(则可设 )()(1 BAkBA BkAnan) bBk)1(解得： 1a， 2)1(kab na是以 BAa1为首项， k为公比的等比数列 1)(nA knn11)(将 A、B 代入即可龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)9（3） nqf)(（ 0

11、，1）等式两边同时除以 1n得 qakn1令 nqaC则Cqnn1 n可归为 bkan1型例 3 nnf)(1型。（1）若 是常数时，可归为等比数列。（2）若 )(f可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 31a， 12nna（ 2）求数列 na的通项。解： 12357312321 nn 1an例 4 1nnmk型。考虑函数倒数关系有)1(makn mkann1令 naC1则 n可归为 bn1型。练习：1. 已知 n满足 31， 21nna求通项公式。解：设 )(21mann mnn1 1龍嘯天下映驕陽 http:/ http:/http:/ (第二个问题回答 “无”)10 1na是以 4 为首项， 2 为公比为等比数列 2n 1na2. 已知 n的首项 1， n1（ *N）求通项公式。解： )(21an)3(32na12nnn 21)( 2a3. 已知 n中， nna21且 1求数列通项公式。解： )1(2342312321 nnnaann )(1 )(4n4. 数列 na中， nna12， 21，求 na的通项。解： nn112 11nn