九章算术-刘徽.doc

1、九章算術提要九章算術九卷，不詳作者名氏。九章算術是一部現在有傳本的、最古老的中國數學書，它的編纂年代大約是在東漢初期。書中收集了二百四十六個應用問題的解法，分別隸屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股九章。春秋、戰國時期社會生產力的逐漸提高，促進了數學知識和計算技能的發展。當時各國的統治階級要按畝收稅，必須有測量土地、計算面積的方法；要儲備糧食，必須有計算倉庫容積的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必須能計算工程人功；要修訂一個適合農業生產的曆法，必須能運用有關的天文數據。那時的百姓掌握了相當豐富的、由日常生活中產生的數學知識和計算技能。雖然沒有一本先秦的數學書

2、流傳到後世，但無可懷疑的是九章算術方田、粟米、衰分、少廣、商功等章中的題解方法，絕大部分是產生於秦以前的。漢書藝文志術數類著錄有許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷，這兩部算術雖早已失傳，應該是東漢初編纂的九章算術的前身，它們的主要教材應當被保存於九章算術各章之內。周禮大司徒篇說：保氏掌諫王惡而養國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。這是說，主持貴族子弟教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數為小學的六門課程，每一門課程又各有若干細目，例如數學中有九個細目。但在周禮裏沒有把九數列舉出來，我們就無法考證它的內容。漢武帝時這部周禮開始受到經學家的注意。到東漢時期，

3、鄭眾、馬融等都為九數作了注解。東漢末鄭玄周禮注引鄭眾說：九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要，今有重差、句股。事實上，鄭眾所說九數中的均輸已是漢武帝太初元年以後的賦稅制度，決不是周禮九數原有的一個細目。方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要大概是西漢末傳統算術的主要綱目，今有重差、句股說明數學有了新的發展。傳本九章算術將句股代替旁要，它的編纂年代當在鄭眾注周禮九數（約公元五年）之後。後漢書馬援傳說，馬續善九章算術。馬續是馬援的侄孫，馬融（公元七九-一六六年）之兄，他的生年約在公元七年前後。馬續研究九章算術大概在公元九年前後。根據上述史料，我們認為九章算術

4、的編定年代是在公元第一世紀的後半個世紀，而各章的主要內容在第一世紀初期已具備了一定的成就。九章算術不但對後世的數學著作奠定了優良的傳統，對世界數學的發展也有著重要的貢獻。現在小學算術課程中的分數四則，各種比例，面積和體積，以及各類應用問題的解法，在九章算術方田、粟米、衰分、商功、均輸、盈不足等章裏已有了相當詳備的內容。現在中學課程中的代數部分，如開平方、開立方、正負數、聯立一次方程組、二次方程等項目，在少廣、方程、句股章裏亦已有了卓越的成就。傳本九章算術有劉徽注和唐李淳風等的注釋。劉徽是我國古代傑出的數學家。他為九章算術作注解，又自撰重差一卷附於九章算術九卷之後，故隋書經籍志著錄九章算術十卷，

5、劉徽撰。經籍志又錄有九章重差圖一卷，劉徽撰，當是十卷本的附圖，可惜早已亡佚。九章算術方田章圓田術注和商功章圓困術注中都論及晉武庫中有漢時王莽所作銅斛。隋書律曆志論歷代量制引商功章注，說魏陳留王景元四年（公元二六三年）劉徽注九章。我們根據這些資料，認為劉徽是魏、晉時人。他的生平履歷無可詳考。劉徽九章算術注自序說：又所析理以辭，解體用圖。庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。這是說，問題解法的理論分析，要用明確的語言表達出來；空間形體的具體分解，要用幾何圖形顯示出來。這樣纔能做到又簡又明，啟發讀者的思考。他在注中一方面整理九章算術各個問題的解法，理論上屬於一類的使它們歸於一類，提綱挈領地闡明所以

6、能解的道理。在另一方面，對於原來所有不夠準確的近似計算，他提出了更精確的計算方法。例如九章算術原術取用三為圓周率，他通過了圓內接正三百八十四邊形和正三千零七十二邊形面積的嚴密計算，得到圓周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不盡時（平方根或立方根為無理數），原有以分數表示奇零部分的方法不甚準確，他主張繼續開方，得出以十進分數表示平方根或立方根的近似值。此外，他創立許多新的解題方法，例如盈不足章第十九題的等差級數求和法，方程章第七題的互乘相消法，第九題的消去常數項法，句股章第十六題的內切圓徑公式等等，都比原術簡便。唐李淳風等對劉徽注本九章算術作了一

7、些解釋，原有劉注意義十分明確的不再補注，盈不足、方程二章就沒有他們的注釋。九章算術所有與圓面積有關的問題，都取圓周率三計算，劉徽注以為應取五十分之一百五十七，李淳風等補注認為可以用七分之二十二計算，這是對的。但七分之二十二是祖沖之的所謂約率，而李淳風等引用此率，稱它為密率。後世人誤認七分之二十二為密率的很多，這是李注的謬種流傳。少廣章開立圓術，李淳風等注釋引祖?之說，介紹球體積公式的理論基礎。綴術書失傳後，祖沖之父子對於球體積的研究，幸有李淳風等的徵引而得流傳到現在。劉、李注本九章算術到北宋仁宗時有賈憲所撰的細草，原書早已失傳，但永樂大典中保存楊輝所引的賈憲開方法是非常寶貴的數學史料。南宋末有

8、楊輝詳解九章算法十二卷（一二六一），現在僅存商功、均輸、盈不足、方程、句股五章和九章算法纂類。楊輝鈔錄的九章算術本文和劉、李二家注文有很多脫誤，但也有可據以對校永樂大典本的文字。清嘉慶初年李潢撰九章算術細草圖說九卷，有校勘、有補圖、有詳草、有說明，發揮九章算術劉徽注的原意，對於讀者是大有裨益的。 版本與校勘劉、李注本九章算術在宋代有北宋元豐七年（公元一八四年）秘書省刻本和南宋嘉定年鮑澣之刻本。明代永樂大典依據九章名義分類抄錄，到清朝初年並未散佚。明代留心古典數學的人很少，九章算術非但沒有新的刻本，連宋代遺留下來的舊書也漸次散佚。清初南京黃虞稷家中有南宋刻本九章算術，僅存方田、粟米、衰分、少廣、

9、商功五章。一六七八年梅文鼎到南京應鄉試時曾到黃家翻閱過。這個殘本九章算術於乾隆中為曲阜孔繼涵所得，嘉慶中為陽城張敦仁所得，今存上海圖書館。常熟毛扆於一六八四年向黃家借鈔得一影宋鈔本。這個影宋的殘本九章算術於乾隆中轉入清宮，作為天祿琳琅閣藏書，今存故宮博物院。一九三二年故宮博物院把它影印為天祿琳琅叢書的一種。乾隆三十八年（一七七三）開四庫全書館，婺源戴震充四庫全書纂修及分校官。次年，戴震從永樂大典中抄集九章算術九卷，並且做了一番校勘工作。四庫全書本和武英殿聚珍版本九章算術都有戴震的校訂文字和補圖。商務印書館刊行的叢書集成本是依據武英殿本排印的。戴震的兒女親家孔繼涵刻微波榭本算經十書，其中九章算術

10、九卷採用戴震的校定本。戴震校正的文字，顛撲不破的果然不少，但也有些地方，他師心自用，把原本不錯的文字改掉，後來的讀者很容易被他蒙蔽而引起誤會。所以作為一個善本書看，微波榭本的參考價值是遠不如武英殿本的。微波榭本九章算術卷九的最後一頁上題稱大清乾隆三十八年癸巳秋闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕，書的底本和刻書年代都有問題，顯然是不足徵信的。此後依據微波榭本翻刻的九章算術有常熟屈曾發的重刻本、南昌梅啟照的算經十書本和商務印書館的萬有文庫本、四部叢刊本等等。嘉慶年鍾祥李潢撰九章算術細草圖說，用微波榭本作底本，校正了很多錯誤文字。戴震所謂舛誤不可通而無法校訂的文句，經過李潢校訂後，一般都能文從字順容易理解

11、了。但碰到戴震誤改原文的地方，他就沒有能夠糾正過來。方程章最後一題的劉徽注中，敘述了兩個新術的演算程序，文字冗長，數字繁瑣，舊刻本的訛文奪字很多，不容易整理。李潢的友人戴敦元和李銳各代為校正一術。李潢就照錄他們的校定稿作為細草圖說的一部分。又，均輸章第八題答數、術文和李淳風等的注文俱有訛字，李潢未能訂正，沈欽裴於李潢死後算校編輯付刻時代為校正。為了要恢復唐代立於學官的劉、李注本九章算術，我根據天祿琳琅叢書本和宜稼堂本楊輝詳解九章算法所引，重加校訂，寫出了校勘記四百六十餘條。戴震、李潢二家所校定的文字認為是正確的，於校勘記中聲明他們的開辟草萊的功績。也有各本俱誤而各家漏校或誤校的文字，只能憑個人

12、意見，擅自校改，但在校勘記中保留各本原有的異文衍字。商功章陽馬術和句股章容圓術的劉徽注中各有意義難於理解而不能句讀的文字，無法校訂，只能付之缺疑。劉徽九章算術注原序昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則九章是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。徽幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，

13、遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。周官大司徒職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。按九章立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其

14、遠者必用重差，句股則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筩南望日，日滿筩空，則定筩之長短以為股率，以筩徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也。雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之於志，以闡世術之美。輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴於句股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長

15、之，則雖幽遐詭伏，靡所不入。博物君子，詳而覽焉。 九章算術卷第一方田一今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？荅曰：一畝。二又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？荅曰：一百六十八步。方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。三今有田廣一里，從一里。問為田幾何？荅曰：三頃七十五畝。四又有田廣二里，從三里。問為田幾何？荅曰：二十二頃五十畝。里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。五今有十八分之十二。問約之得幾何？荅曰：三分之二。六又有九十一分之四十九。問約之得幾何？荅曰：十三分之七。約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其

16、等也。以等數約之。七今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？荅曰：十五分之十一。八又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？荅曰：得一、六十三分之五十。九又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？荅曰：得二、六十分之四十三。合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。一今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？荅曰：四十五分之三十一。一一又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？荅曰：十二分之五。減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。一二今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？荅曰：二十五分之十六多，多

17、二百分之三。一三又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？荅曰：九分之八多，多六十三分之二。一四又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？多幾何？荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。一五今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。一六又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實

18、。亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。一七今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？荅曰：人得一錢、二十一分錢之四。一八又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？荅曰：人得二錢、八分錢之一。經分術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。一九今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？荅曰：三十五分步之十二。二又有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？荅曰：十一分步之七。二一又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？荅曰：九分步之四。乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。二二今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？荅曰：十八步。二三又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？荅曰：一百二十步、九分步之五。二四又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？荅曰：一畝二百步、十一分步之七。大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。