经济数学－微积分第八章多元函数微分学(8.3-8.5).doc

1、46微积分教案章节次数 第 35 讲：第八章 8.3 全微分及其应用教学目的要求1. 理解全微分的概念。2. 了解全微分存在的必要条件和充分条件。3. 掌握全微分的计算。主要内容全微分的概念全微分存在的必要条件和充分条件全微分的计算 重点难点弄清多元函数连续、可微、偏导存在的关系。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：332 页 习题 8-3：1 ，2，3备注478.3 全微分教学目的与要求：理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。掌握全微分的计算。教学重点（难点）：弄清多元函数连续、可微、偏导存在的关系。一、全微分的定义定义 1 如果函数 在点 的某邻域内有定

2、义，并设),(yxfz),(为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(yxP ),(xff为函数在点 对应于自变量增量 的全增量，记为 ，即y, z=z)(),(xfyxf定义 2 如果函数 在点 的全增量),(yxfz),(可以表示为 ，其中 不依赖),(),(yxfyxfz oBAzBA于 而仅与 有关， ，则称函数 在点 可微分，, 2)(y),(yxfz),(称为函数 在点 的全微分，记为 ，即 = .yBxA),(yxfz,dzy函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分.定理 如果函数 在点 可微分, 则函数在该点连续.),(f)(因为 oyxz),(

3、oyBxAz),(lim0fyx ),(lim0yff故函数 在点 处连续.,fz,(yx定理（可微的必要条件） 如果函数 在点 可微分，则该函数在点),(yxfz),(的偏导数 、 必存在，且函数 在点 的全微分为),(yxxzy,f,dz48一元函数在某点的导数存在则微分存在；若多元函数的各偏导数存在，全微分一定存在吗？在点 处有 ；.00),( 22yxyxf ),( 0),()0,(yxff),(),(ffzyx ,)(22y如果考虑点 沿着直线 趋近于 ，,P x0,则 22)(yx 2)(x,1说明它不能随着 而趋于 0,故函数在点 处不可微.00,说明：多元函数的各偏导数存在并不

4、能保证全微分存在，定理（可微的充分条件） 如果函数 的偏导数 、 在点 连续，),(yxfzxzy),(x则该函数在点 可微分习惯上，记全微分为),(yx .dd例 1 计算函数 在点 处的全微分.xyez)1,2(解： ,xy,xy,2)1,(ez,2)1,(eyz所求全微分 .2dedz例 2 求函数 ，当 ， ， ， 时的全微分.)cos(yx4xy4dxy解： ,2inyxz ),2sin()2cs(zdyxdz),4(),4(),4( ).74(8例 3 计算函数 的全微分.yzeu2sin解： ,1x,coyzy,yzeu49所求全微分 .)2cos1(dzyezydxu例 4 试

5、证函数 在点 连续且偏导数)0,(,0in),(2yxf ),(存在，但偏导数在点 不连续，而 在点 可微.),(f)0(思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 ， 讨论.,yx),(,yx多元函数连续、可导、可微的关系（与一元函数有很大不同）：一元函数 在 处)(xf0二元函数 在 处),(yxf),0其中“ ”表示可推出， “ ”表示不能推出。函数 在点 处可微的充分条件是:),(yxfz),(0（1） 在点 处连续；（2） 、 在点 的某邻域存在；),(yxf),(f),(0yx（3） ，当 时是无穷小量；zyx 0)(22yx（4） ,当 时是无穷小量.2)(,xff 22有极限 连续

6、可导 可微有极限 连续 偏导存在 偏导存在且偏导连续可微50微积分教案章节次数 第 36 讲：第八章 8.4 多元复合函数的求导法则教学目的要求1. 熟练掌握复合函数一阶、二阶偏导数的计算。2. 理解全微分形式不变性。主要内容多元复合函数的一阶、二阶偏导数全微分形式的不变性重点难点多元复合函数的链式求导法则。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：339 页 习题 8-4：1 ，2、(1)(3)(5) ，4，5，6备注518.4 多元复合函数的微分法教学目的与要求：熟练掌握复合函数一阶、二阶偏导数的计算，理解全微分形式不变性。教学重点（难点）：多元复合函数的链式求导法则。一、链

7、式法则定理 如果函数 及 都在点 可导，函数 在)(tu)(tvt),(vufz对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在对应点 可导，且其导数可),(vu ,fzt用下列公式计算：dtvtudtz上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如 twztvtuztzvt以上公式中的导数 称为 全导数全导数 .dt上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况： ).,(,yxfz如果 及 都在点 具有对 和 的偏导数，且函数),(yxu),(yxv),(yxy在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在对应点,vfz ),(,yxfz的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 )(yx， .xvzu

8、xz yvzuyz链式法则如图示 xzv,xvuzxyzuy特殊地: ，其中 , 即),(f )(x,),(yxf52则 ,xfufxz.yfufyz注意： 把复合函数 中的 看作不变而对 的偏导数；而 把,)(xfxxf中的 及 看作不变而对 的偏导数； 和 的区别与上面相同),(yxufz yzf例 1 设 ，而 ， ， 求 和 .vsinezuxyvx解: =zx1cossinveeuu )cos()sin(yxyu= =yvuzy ixuu ixu例 2 设 ，而 ， ，求全导数 .tsintetcosvdtz解: tzdvtuzdtutin.cos)in(costte例 3 设 ，

9、具有二阶连续偏导数，求 和 .),(xyfwf xwz2解: 令 记 同理有,zxu;v,)(1uvf ,)(21vuff ,2f1.2fxwff ;21fyzxw)(21fyz;221zfyfzf1zvfu1;12fvuf2 ;21fx于是 x212fy )(21fxy .)(2121 fyzfzxy二、全微分形式不变性 设函数 具有连续偏导数，则有全微分 ;当 、),(vufz dvudz),(x时，有 .),(yxvdyzxd全微分形式不变性的实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.zv,uv,u53例 4 已知 ，求 和 .02zxzexzy微积分教案章

10、节次数 第 37 讲：第八章 8.5 隐函数的求导公式 习题课教学目的要求1. 掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数及全微分的方法。2. 会求由两个方程组成的方程组确定的隐函数的偏导数。主要内容一阶隐函数的偏导数二阶隐函数的偏导数重点难点求隐函数的偏导数。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：344 页 习题 8-5：1、2、3、4、6备注548.5 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数的偏导数及全微分。教学重点（难点）：求隐函数的偏导数。一、一元隐函数求导公式隐函数存在定理 设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且),(yxF),(0yxP， ，则方程 在点 的

11、某一邻域内恒能唯0),(0yxF0),(0xy ),(0yx一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有 )(f )(0xf.yxFd例：验证方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且012),(时 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 的值.0xyxfy 0x解：令 ，则 ),(2xF,2Fx,y,)10(F,2)(y依定理知方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且012y),(时0x的函数 函数的一阶和二阶导数为1y)(xfyxFd,0xd22yxd2y,13y.102xd例 2 已知 ，求 .xarctnln解： 令 则 ,tl),(2yyxF,),(2

12、yxFx隐函数的求导公式55,),(2yxFyyxFd.二、一元隐函数求导公式隐函数存在定理 设函数 在点 的某一邻域内有连续的偏导数，)z,(,x(P0)z且 ， ，则方程 在点 的某一,x(F0)zy0y,xFz y)z,yx(P0邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件),fz，并有 ， .)y,x(fz00 zxFzyF例 3 设 ，求 .0422z2x解：令 则 ,),(2zyxF,Fx,42z,2zxFxz2xz2)(zx2)(z.)(32z例 4 设 ，求 ， ， .,yfxy思路：把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得zx, zyx,x，把 看成 的函数对 求偏导数得 .xzyz解：令 则,xu,xyv),(vuf把 看成 的函数对 求偏导数得 zy, xz)1(xzfu ),(xzyfv整理得 把 看成 的函数对 求偏导数得 xz,1vuyff,)1(0yxfu ),(yzfv整理得 x,vuzf