基于三维DDA的多块体滚石运动分析.DOC

1、第 27 卷 第 1 期 四川大学学报（工程科学版） Vol.27 No.1 2017 年 1 月 Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition) Jan.， 2017 收稿日期： 基金项目 ： 国家自然科学基金青年项目：“三维数值流形方法 -非连续变形分析耦合算法及其应用” (51509173) 作者简介：（ 1992-） :男，硕士生。研究方向： 岩土 工程 数值模拟方向 。 E-mail： zhang_ *通讯联系人： 基于三维 DDA 的 多块体 滚石 运动 分析 张正雄 1， 郑 路 2*， 姚慧婷 1， 涂 园

2、 1， 罗 军 1， 白雨薇 1 （ 1.四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，水利水电学院，四川成都 6100651； 2.四川大学 灾后重建与管理学院 ，四川成都 610065） 摘要 ： 崩塌 滚石 是 山区 主要 的地质灾 害 之一 ， 分布范围及其广泛， 突发性极强、预测困难，会造成建筑物损坏、交通运输线路堵塞、人员伤亡等严重后果 。 其防护结构的设计依据主要是边坡滚石的运动轨迹，而 目前，国内外对崩塌滚石的相关研究较为薄弱， 从而导致滚石灾害治理上效果不佳 。本文通过对国内外众多滚石灾害案例的研究， 探索三维非连续变形分析方法(以下简称 3-D DDA)在崩塌滚石中的应用

3、 。 相比传统的二维模型， 三维模型由于能够考虑三维地形效应，分析扩散角，近年来逐步成为了主流的研究手段。 实例分析中 以某岩质边坡建立了 3-D DDA 模型 ， 采用恢复系数法来描述滚石碰撞反弹的问题， 通过数值模拟， 分析了多块体滚石事件的运动特征。结果表明： 是否考虑滚石间相互碰撞所计算出的结果差异较大， 虽然滚石间的相互碰撞通常会带来总能量 的 损失，但 部分块体受到碰撞将接受动能， 促进其 远距离运动 ，从而 得到更佳合理的防治方案 。滚石块体间的相互作用不能忽视。 与现有方法相比， 3-D DDA 具有能直接 在 模拟块体间相互碰撞，更符合多块体滚石灾害事件的优点。进一步，基于运

4、动特征分析成果验证了 防护措施的效果。 该方法可用于斜坡区 多块体 滚石运动特征的预测 ， 并可为滚石灾害 科学 防治 决策提供参考 。 关键词 ： 滚石 ; 运动特征 ; 三维非连续变形分析 ; 多块体 中图分类号 ： 文献标识码 ： 文章编号 ： Rockfall Simulation with Consideration of Multi-blocks using 3D DDA Zhang Zhengxiong1， Zheng Lu2*， Yao Huiting1， Tu Yuan1， Luo Jun1， Bai Yuwei1 (1 State Key Laboratory of Hyd

5、raulics and Mountain River Eng.， College of Water Resource & Hydropower， Sichuan University， Chengdu 610065， China； 2 Institute for Disaster management and Reconstruction， Sichuan University， Chengdu 610065， China) Abstract： Rockfall is one of the main geological disasters in mountainous areas, and

6、the range of its distribution is very wide. It always occurs suddenly and hard to be forecasted, which can damage structures, obstruct transportation, threaten human lives and cause other serious consequences. The design of protective structure is based on analyzing rockfall trajectories. However, t

7、he researches about the rockfall are limited. Since that, the effects of rockfall prevention treatments are poor. This paper based on a variety researches of rockfall cases, and use the three-dimensional discontinuous deformation analysis(3-D DDA) in the rockfall prevention subject. Compared with th

8、e two-dimensional model, the three-dimensional model became to the mainstream method because it can take 3D terrain into consideration, and analyze divergence angle. In this paper, rockfall on a rock slope was analyzed using 3-D DDA for countermeasures. The movement characteristics were investigated

9、 by numerical analysis with consideration of collisions between rockfall blocks. The results show that weather or not considered the collisions between rockfall blocks will cause a huge difference, and the collisions among falling rocks will usually cause the total energy loss, but some blocks will

10、obtain the kinetic energy through collisions and move a longer distance. The interactions among falling rocks cannot be ignored. Compared with t he existing methods, 3-D DDA can directly simulate the collisions among the rocks, which is correspond to multi-blocks rockfall events. Effect of protectiv

11、e measure was verified by the movement characteristics. This method can be used to predict the multi-blocks rockfall movement characteristics on rock slopes. It can offer a reference for planning and designing rockfall countermeasures. Key words： rockfall； movement behaviors； 3D DDA； multi-blocks 崩塌

12、滚石 是 山区主要地质灾害 之一 。 尽管 崩塌滚石规模相对较小 1，但仍 具有 高速、高能等 强破坏性 特点 2-3；同时， 文献综述 4指出 滚石的诱发 机理及 条件 众多， 突发性极强、预测困难 ， 常造成建筑物损坏、交通运输线路堵塞、人员伤亡等严重后果； 此外，从 空间和时间 角度来说， 落石 现象复发四川大学学报（工程科学版） 2016 年 的 可能性 很高 5。 因此 ， 滚石灾害 发生 的风险 很高 ，一直是工程勘察治理中的重点和难点 。 滚石灾害减灾对策及防护结构的设计依据主要是边坡滚石的运动轨迹 6。 20 世纪中期以来， 国内外 对滚石运动特征 以及对建 (构 )筑物可能造

13、成的危害也做了一些有益的探索 4, 7-8。 滚石 运动 特征 的 估算问题成为了边坡滚石问题研究的一个重要的方面。其主要 研究方法 为现场试验、模型试验 和数值模拟法 9。 在滚石 现场 调查和 室内 模型 试验 研究 的 基 础 上 ，进行统计和参数分析， 估算滚石的飞落距离、飞行高度和速度以及对防护结构的撞击能量，可为防护设计提供可靠的依据 (如落石对策便览 10)。 文献指出现场和模型试验难度大、成本高 11，同时， 相关研究的资料 尚 不足支撑统计分析 8,12。 随着计算机技术的发展 ，数值模拟被大量运用于 滚石运动特征分析中 。 目前已有多种模拟滚石运动轨迹的方法和软件 。为满足

14、工程实际需要，对崩塌滚石的计算分析常进行了适当的简化，特别是将落石理想化为质点或半径为 1m 的球体。实际上，崩塌落 石的运动轨迹受到多种因素的影响，对边坡和滚石的简化过程影响了可靠性和精度。国内外学者近年来开展了多方向的深入研究，逐步探索将落石质量和落石形状，甚至大块落石在运动过程中的碎裂和相互碰撞对落石运动轨迹的影响考虑在内 。 同时， 运动特性分析中最为显著的三维效应是失稳块体在运动过程中产生的横向偏移。叶四桥等试验研究表明得到的不同形状、不同质量的滚石在试验坡段内横向偏移量在等效坡长的 10%30% 的范围内 13。据程强和苏生瑞 14统计的汶川地震崩塌滚石坡面运动特征表明：陡坡 段坡

15、角与崩塌扩散角有明显的线性关系，扩散角最大值可达 50 以上。 三维模型由于能够考虑三维地形效应，分析扩散角，近年来逐步成为了主流的研究手段。 岩土地质灾害运动轨迹模拟问题是一类典型的离散块体的大位移问题。因此，能分析任意形状节理岩体大变形、大位移的非连续变形分析方法(DDA)15是破坏失稳块体运动轨迹模拟中的有效工具。 Ohnishi et al.16最早将 2-D DDA 运用于滚石运动分析，以协助设计滚石防护栅。 Chen17基于 2-D DDA 进行了 实用的滚石灾害数值模拟研究。可见，基于 2-D DDA 的失稳破坏块体运动模拟中已得到了深入地研究和广泛地应用。 为考虑滚石之间的相互

16、影响对三维运动特征的影响，本文 基于 石根华先生 的 3-D DDA 理论 18开发 实现了 实用的 3-D DDA 程序 ； 对 滚 石 的 自由下落、滑移、滚动和反弹四种基本运动形态 进行了模拟和验证 ；以某岩质边坡建立了 3-D DDA 的数值分析模型，通过数值模拟，分析了多块体滚石事件的运动特征； 对 比分析了考虑 滚 石之间碰撞和不考虑碰撞 时 的 侧向扩散距离 和最大速度。 结果表明：虽然滚石间的相互碰撞通常会带来总能量 的损失，但部分块体受到碰撞将接受动能，促进其远距离运动。滚石块体间的相互作用不能忽视。进一步，基于运动特征分析成果验证了防护措施的效果。 该方法可用于斜坡区 多块

17、体 滚石运动特征的预测 ， 并可为滚石灾害 科学 防治 决策提供参考 。 1 三维 DDA 在落石中的实际应用 1.1 滚石坡面的模拟 基于 DDA 的滚石运动特征分析 需 要模拟大范围的边坡坡面，包含 物源区域 以及可能的运动 区域。 在 2-D DDA 中，通常将整个边坡 坡面 及 可能的运动影响 区域 范围作为一个整体模拟 。计算 分析该边坡整体和小体积 的 滚石相互作用时， 可能 因为两块体间巨大的体 积差异 导致 过大的误差，特别是在需要 考虑到边坡 和滚石具体的形状 时。 为了解决这一问题，一种替代方法是将 坡面人为划分为多个 块体 。同时，该方法还可 考虑带边坡不同区域的不同物理

18、特性 (碰撞恢复系数 )。通过 采用现场调查数据对计算分析成果的 验证， 表明其具有良好的适用性和精度 。 然而在三维分析 中， 采用上述方法的坡面块体模拟存在以下两方面的问题： 如果坡面作为整体模拟，该块体将由大量表面组成，使接触判断更加复杂； 如果 坡面 被 人为划分为若干 块体， 即 需构建大量的 三维块体 ，是一项非常 复杂和耗时 的任务。 1.2 接触面单元 事实上，滚石运动特征的分析着目于滚石 的自由落体、滑动、滚动，其与坡面碰撞后的反弹及滚石间相互作用。坡面往往考虑为刚性的位移约束、其变形忽略不计，该过程的能量耗散通过碰撞恢复第 28 卷 第 1 期 张正雄等 . 基于三维 DD

19、A 对考虑多块体落石模拟分析及其实际应用 3 系数表征 。 故坡面及滚石运动影响区域无需真实地构建 块体 ，而仅需其表面作为位移约束 。 在 3-D DDA 的滚石运动特征分析中，引入了“接触面 单元 ” (Contact Face Element： CFE)的新元素， 以模拟坡面和滚石运动影响范围的区域。 CFE 在 二维条件下为线单元，三维条件下为 面单元 。 其 物理特性 仅为该处的碰撞恢复系数 。 CFE可以与 滚石 块体有接触 ，但不会产生位移和变形 。 在 3-D DDA中 单个 CFE为一个刚性三角面片 。如图 1所示，复杂的坡面 可 用 CFE构成的网格模拟，其建模过程可采用地

20、理信息系统 (GIS)工具 ArcGIS作为辅助 。 此外 ， CFE 的引入简化了滚石块体与坡面间的接触判断 ， 减少了系统求解的未知数 19。 图 1 使用接触面单元的边坡模型 Fig.1 Slope model using Contact Face Elements 为了验证 CFE 的适用性，建立了如 图 2 所 示模型。模拟了坡面上的正方形块体在重力作用下的自由落体和碰撞反弹运动。实线为坡面作为块体模拟，点划线为坡面作为 CFE 网格模拟的分析结果。滚石的物理力学参数为 ：密度： 332.5 10 /kg m ，杨氏模量： 95.0 10 Pa ，泊松比： 0.1 。 DDA 分析参

21、数：接触法向刚度为 91.0 10 /nm ，时间步长为 0.01s 。 Z方向 位移 如 图 2 所示 。 坡面作为块体模拟时 ， 坡面块体与滚石块体的物理力学参数一致 。 Z 方向位移一致，验证 了 CFE 的适 用性。 图 2接触面单元 适用性的验证 Fig.2 Verification of Contact Face Elements 2 滚石 基本运动 状态 的验证 滚石的运动状态 有 ：自由 落体 ，滑 动 ，滚 动和弹跳 20。 滚石运动轨迹是这四种运动状态的一种和多种组合。每种运动状态可以用熟知的物理定律进行描述。 运动状态 之间的转化由 DDA 分析后块体位移 分量 决定。

22、基于此， 本文首先 对 四种基本的运动 状态进行了 模拟 ，验证程序的适用性 。 2.1 自由 落体 自由 落体 的理论解为 212d gt (1) 式中， d 为 自由 落体 位移 ； g 为 重力加速度 ； 可取210/ms ； t 为 时间。 图 3 3-D DDA在自由 落体中适用性的验证 Fig.3 3-D DDA applicability in free fall analysis 如 图 3 所示，自由落体过程中， 3-D DDA 计算结果与理论解一致 。 2.2 滑 动 滚 石 数值模拟的主要困难是模拟 滚 石 和边坡四川大学学报（工程科学版） 2016 年 之间的相互作用

23、，包括滑动、滚动和弹跳以及之间的相互转换 。根据库仑定律， 滚石滑动 的位移可以由以下公式确定： 21 ( si n c os ta n )2d g t (2) 式中， 为坡面坡度 ， 为动摩擦角 。 验证模型为：直线型 坡面 ， 坡 度 为 30 。 DDA模拟了坡面上的正方形 块体在重力作用下的 滑 动 ，摩擦力被设定为 作用于滑块上的外力。 动摩擦 角 分别 为 10 和 20 。 如图 4 所示， 滑动过程中， 3-D DDA计算结果与理论解一致 。 图 4 3-D DDA在滑运中适用性的验证 Fig.4 3-D DDA applicability in sliding analysi

24、s 2.3 滚动 图 5 块体 滚动的临界角示意图 Fig. 5 Critical angle of rolling initiation 当滚石为球形、圆柱形或圆盘形时易发生滚动 。 在 图 5 中， 小于 坡面坡度 时，动 摩擦角 0大于 ， 块体不会 滑动而 发生滚动。 为定义滚动临界角 ( CRIA )。 图 6 DDA计算所得和理论的起始临界滚动角对比 Fig. 6 Comparison of Critical Rolling Initiation Angle between DDA and theoretical solution CRIA 可以 根据 块体 的 几何 形状确定。

25、正多边形 的 CRIA 可由 如下 公式 进行计算 ： 180=n (3) 通过 CRIA 结果 可以验证 DDA 计算 中 的 转换到 滚动模式 的精度 。 如图 6 所示， DDA 计算所得 滚动 临界角 与理论解一致 。 DDA 可以准确 地 模拟 滚石运动过程中不同运动模式向 的 滚动 的转换 。 图 7 滚石运动距离和块体形状 和形体之间的关系 Fig. 7 Relationship between runout and block shape 滚石 的 滚动距离 被视作为块体形状的函数。 图7 显示 了 滚石的 滚动距离和 块体边数 之间的 关系 。在图中， D 为 水平位移 ，

26、H 为 坡高 。结果 显示 球形块体 (正 20 边形 )的 滚动 距离 差不多是正方形 的 8倍。因此 ， 滚动 分析中考虑 落石 的 滚动 模式 是 必要和重要的。 2.4 碰撞反弹 在 模拟落石和坡面的相互作用 中 ， 碰撞反弹是最复杂，最不确定的一种运动，取决于滚石和坡面第 28 卷 第 1 期 张正雄等 . 基于三维 DDA 对考虑多块体落石模拟分析及其实际应用 5 的物理力学性质、碰撞入射角、滚石质量和入射速度等诸多因素 21。 在四种模式之中， 其能量损耗 的机理和理论解析的 研究最少 且 最难预测。 当 考 虑 弹性 形变时， 碰撞 反弹 可 由 DDA 直接模拟 ， 分析图

27、2 中的模型 ， 其结果 可 见图 8。其 中弹跳 速率 vR 由以下 公式 进行 计算： v VR V(4) 其中 V 和 V 是碰撞 前后的速度 ， p 代表接触 刚度 。根据 图 8 的 结果可以做出以下 结论： 没有能量损失 的完全弹性摩擦 可以利用DDA 分析得出。 图 8 可以看出其 杨氏模 量大于910Pa ，接触 刚度 大于 910 /Nm ，反弹速率大约为1.0。 弹性变形会影响 反 弹速度 。从 图 8 中可以看出杨氏模量达到 910Pa 后反弹速率随着杨氏模量减小不断变小。 接触刚度也会对反弹速度有一定影响，从图8 中 810 /p N m 中的情形 中可以看出 。 图

28、8 反弹速度比与杨氏模量之间的关系图 Fig. 8 Rebounding velocity ratio vs. Youngs modulus 结果表明 ，使用 DDA 能够很好的模拟碰撞 反弹运动 ， 一些参数 ，如泊松比、时间步长会影响反弹速度，但恰当的参数设置可以避免其影响。 3 多块体滚石 实例分析 3.1 碰撞恢复系数的导入 DDA 模拟滚石与坡面接触、发生碰撞反弹时 是没有能量损失 、 完全弹性。也就是说，回弹速度等于入射速度。 但是， 此过程中 部分动能可能 转化为坡面 的塑性形变，或转化为热能等 的其他形式的能量， 为完全非弹性碰撞，回弹速度将大大降低，该现象为众多现场调查数据和

29、模型实验所揭 示。 本文采用恢复系数法来描述滚 石碰撞反弹的问题，其能量的模拟采用 Chen17使用的后 修正 法。 早在牛顿时代，恢复系数就用来模拟物体碰撞反弹后的能量损失。 滚石的速度在岩石和 坡面 CFE 接触后按以下公式修正 。 碰撞恢复系数可根据坡面材料的不同赋予每个 CFE。 xxy v yzzVVV R VVV (5) 式中 ， ( , , )x y zV V V 为前一时步计算后，碰撞 后 块体的速度； vR 是以速度表示 的 能量损失， 根据 Chen17引用 的 现场 观测数据 ， vR 的取值范围 大概是0.60.8 ； ( , , )x y zV V V 是下一 时步所

30、采用 的 修正后 的初速度 。 3.2 实例 分析 为防止 某岩质边坡 下方道路交通受到滚石灾害的妨害 ，需根据滚石运动特征进行防护措施的设计 。调查发现上部边坡分布有易失稳滚石块体 41 块 ，总质量 63957.40kg 、总体积 325.60m ，从边坡上部平均高度为 48.3m 的位置下降。块体的体积范围从30.17m 到 31.33m 变化不等，平均值为 30.63m 。 滚石块体与边坡之间的平均恢复系数为 0.8，标准偏差为 0.05。坡面中等粗糙度且无植被，边坡主要由软岩构成，根据日本道路协会在 2000 年所做现场实验，摩擦系数为 0.11-0.20，相当于平均动摩擦角为 10

31、 ，标准偏差值约为 0.05(摩 擦系数 )。 模拟分析所采用物理力学参 数如表 1 所示。表2 为 DDA 分析中采用的罚函数值和时间步长。 图 9 为模型二维剖面图，图 10 为模 型三维示意图。 图 9 二维 剖面图 Fig.9 2-D Profile of the model from valley line 四川大学学报（工程科学版） 2016 年 表 1 力学参数取值 Table 1 Mechnical parameters 参数 密度 (Kg/m3) 杨氏模量 (Pa) 泊松比 恢复系数 摩擦系数 ( ) 取值 2.50E+03 1.00E+09 0.2 0.8 10 表 2 非

32、连续变形分析模拟设置 Table 2. DDA simulation settings 参数 Penalty（ n/m） 时间步长（ s） 取值 1.00E+07 0.001 图 10 模型三维示意图 Fig.10 The rocks and slope used for rockfall simulation (a) 考虑 滚石间相互 碰撞的轨迹 (b) 不考虑 滚石间相互 碰撞的轨迹 图 11 三维 非连续变形分析模拟落石轨迹 Fig.11 Rockfall trajectories by 3-D DDA simulation 模拟分析中分别进行了考虑滚石间相互碰撞及不考虑滚石间相 互 碰

33、撞 的两种情况进。计算分析所得 的运动轨迹 如图 11(a)和 (b)所示 。 计算结果表明 ，因 边坡上部存在平台，大部分滚石块体将堆积于此 ，少量滚石块体将继续运动，最终影响边坡下方设施、交通和人员安全 。然而 ，考虑滚石间相互 碰撞时，有 10 个 滚石块体能到达公路位置；如不考虑滚石间相互碰撞，将 只有 3 个 滚石块体将位移至 坡脚。 结果同时表明，预设的防护措施能有效的避免滚石灾害，达到保护设施、交 通和人员安全的作用。 到达边坡下方，可能造成滚石灾害的块体 的速度分布 如图 12 所示 。 不考虑滚石间相互碰撞时， 最大速度为 21.45 /ms 。同时，当考虑下降岩石之间的碰撞

34、时，最大速度为 26.24 /ms ，增加 22.3% 。也即预防性结构所吸收的能量需增加 49.6% 。 路堤 第 28 卷 第 1 期 张正雄等 . 基于三维 DDA 对考虑多块体落石模拟分析及其实际应用 7 (a) 考虑 滚石间相互 碰撞的轨迹 (b) 不考虑 滚石间相互 碰撞的轨迹 图 12 岩石到达道路的速度 图 13 给 出了在两种情况下滚石块体侧向位移影响的范围。 不考虑滚石间相互碰撞时，该距离为10.72m 。 考虑滚石间相互碰撞时 ， 侧向位移影响的范围 19.28m ，约为不考虑碰撞情况下的两倍。 虽然滚石间的相互碰撞通常会带来总能量的损失，但部分块体受到碰撞将接受动能，促

35、进其远距离运动。故滚石运动 过程中的 相互碰撞对其 运动特征有 显著影响 ，不容忽视。 Fig.12 Velocities of rocks which reached the road by no. 图 13 边坡下方滚石 的 侧 向扩散 影响范围 Fig.13 Lateral dispersion at the foot of mountain 4 结论 3-D DDA 可以 对滚石 自由 落体 、滑 动 、滚动和碰撞 反弹四种基本运动形态 及其相互之间的转换进行准确的模拟。同时，其还可 对多块体 滚石 的运动行为进行数值分析 并考虑块 体相互之间作用的影响。 以某岩质边坡建立了 3-D

36、DDA 的数值分析模型，通过数值模拟，分析了多块体滚石事件的运动特征 。 结果表明：滚石运动 轨迹发生 了明显 改变，且 防护结构设计时所需强度为 不考虑 滚石 间的 相互碰撞 时 的 1.5 倍，长度为 2 倍。 虽然滚石间的相互碰撞通常会带来总能量的损失，但部分块体受到碰撞将接受动能，促进其远距离运动。滚石块体间的相互作用不能忽视。 该方法可用于斜坡区多块体滚石运动特征的预测，并可为滚石灾害科学防治决策提供参考 。 参考文献 (References)： 1 Varnes D J. Slope movements: types and processesR. In: Landslide an

37、alysis and control, Transportation Research Board, Special Report 176, edited by: Schuster R L and Krizek R J, Washington D.C., 1978: 11-33. 2 Evans S G, Hungr O. The assessment of rockfall hazard at the base of talus slopesJ. Canadian Geotechnical Journal, 1993, 30: 620-636. 3 Guzzetti F, Crosta G

38、B, Detti R & et al. STONE: a computer program for the three-dimensional simulation of rockfallsJ. Computers & Geosciences, 2002, 28(9), 1081-1095. 4 Dorren L K A. A review of rockfall mechanics and modelling approachesJ. Progress in Physical Geography, 2003, 27(1): 69-87. 5 Crosta G B, Agliardi F. P

39、arametric evaluation of 3D dispersion of rockfall trajectoriesJ. Natural Hazards and Earth System Sciences, 2004, 4(4), 583-598. 6 吕庆 , 孙红月 , 翟三扣 , 等 . 边坡滚石运动的计算模型J. 自然灾害学报 , 2003, 12(2): 79-84. 7 黄润秋 , 刘卫华 , 周江平 , 等 . 滚石运动特征试验研究J. 岩土工程学报 , 2007, 29(9): 1296-1302. 8 Volkwein A, Schellenberg K, Labio

40、use V & et al. Rockfall characterization and structural protection - a reviewJ. Natural Hazards and Earth System Sciences, 2011, 11: 2617-2651. 9 黄雨 , 孙启登 , 许强 . 滚石运动特性研究新进展 J. 振动与冲击 , 2010, 29(10): 31-35. 10 Japan Road Association. Manual of the countermeasure against rockfallsM. Japan Road Associa

41、tion, Tokyo, 2000: 16-19. 四川大学学报（工程科学版） 2016 年 11 赵旭 , 刘汉东 . 运动学在边坡滚石计算中的 应用 J. 华北水利水电学院学报 , 2004, 25(2): 46-50. 12 Chau K T, Wong R, Liu J & et al. Rockfall hazard analysis for Hong Kong based on rockfall inventoryJ. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2003, 36, 383-408. 13 叶四桥 , 陈洪凯 , 许江 . 落石运动模式

42、与运动特征现场试验研究 J. 土 木 建 筑 与环 境 工 程 , 2011,33(2): 18-23+44. 14 程强 , 苏生瑞 . 汶川地震崩塌滚石坡面运动特征 J. 岩土力学 , 2014, 35(3): 772-776. 15 Shi G & Goodman R. Generalization of two-dimensional discontinuous deformation analysis for forward modelingJ. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomech

43、anic, 1989, 13(4), 359-380. 16 Ohnishi Y, Yamamukai K & Chen G. Application of DDA in rockfall analysisC. In: Proceedings of the 2nd North American Rock Mechanics Symposium, Montreal, Quebec, Canada, 1996: 2031-2037. 17 Chen G. Numerical modeling of rock fall using extended DDAJ. Chinese Journal of

44、Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(6), 926-931. 18 Shi G. Three-dimensional discontinuous deformation analysisC. In: Proceedings of the 4th International Conference on Analysis of Discontinuous Deformation, Scotland, UK, 2001. 19 Zheng L, Chen G, Zhang Y & et al. The slope modeling method with

45、 GIS support for rockfall analysis using 3D DDAJ Geomechanics and Geoengineering: An International Journal, 2014, 9(2): 142-152. 20 Alejano L R, Pons B, Bastante F G & et al. Slope geometry design as a means for controlling rockfalls in quarriesJ. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2007, 44: 903-921. 21 Azzoni A, La Barbera G, Zaninetti A. Analysis and prediction of rockfalls using a mathematical modelJ. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science Abstract, 1995, 32(7): 709-724.