1.1.1正弦定理.doc

1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 4 页1.1.1 正弦定理学习目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点：正弦定理学习难点：正弦定理的正确理解和熟练运用课堂过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角 奎 屯王 新 敞新 疆 那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = =2R（R 为ABC 外接圆半径）AasinBbiCc

2、sin1直角三角形中：sinA= ，sinB= ， sinC=1 acb即 c= ， c= ， c= asinbsisin = =AiBiCci2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC = Abcacbsin21sisin1两边同除以 即得： = =2iBiCi证明二：（外接圆法）如图所示， RCDaAsini同理 =2R， 2RBbci证明三：（向量法）过 A 作单位向量 垂直于jA由 + = C两边同乘以单位向量 得 ( + )= jCBjA则 + = jAjBAabcOBCA D英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报

3、社 第 2 页 共 4 页| | |cos90+| | |cos(90C)=| | |cos(90A)jACjBjAB =casiniAasiCcin同理，若过 C 作 垂直于 得： = = =jsiBbinAasiBbinCcsi正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎 屯王 新 敞新 疆 （见图示）已知 a, b和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:)( ba ,sin i锐 角一 解 一 钝一 锐二 解 直 角一 解无 解 b a b a ba b aa一一一

4、a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H若 A 为直角或钝角时: )( a锐 角一 解无 解三、讲解范例：例 1 已知在 BbaCAcBC和求中 ， ,30,45,10解： 0,45,3cQ 0)(8由 得 CcAasini 2103sin451siAca由 得Bbii 5642075sin230sin1si c英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 4 页例 2 在 CAacBbAC,160,3和求中 ， 解： 213

5、60sinsiin,siinbc0 00,6, ,9bBBQ为 锐 角 ， 22ca例 3 CbaAAC,245,0和求中 ， 解：0sin6si453,isini 2ccQ0,612a或，1360sin75si,75600 CBcbBC时 ，当 ii,112000 时 ，当 或006,75,3Bb 012,5,13CBb例 4 已知 ABC， B 为 B 的平分线，求证： AB BC A C分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线 BD 将ABC 分成了两个三角形： ABD 与 CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB AD BC DC，从而把问题

6、转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也DBCABDsinsi,insi 相等即可证明结论 奎 屯王 新 敞新 疆证明：在 ABD 内，利用正弦定理得： Asisisi即在 BCD 内，利用正弦定理得： .in,ini DBCDBC即 BD 是 B 的平分线 奎 屯王 新 敞新 疆 ABD DBC sin ABDsin DBC 奎 屯王 新 敞新 疆 ADB BDC180 sin ADBsin（180 BDC）sin BDC CDBADsinsi英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新

7、课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 4 页 DCAB评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用 奎 屯王 新 敞新 疆 四、课堂练习：1 奎 屯王 新 敞新 疆 在 ABC 中， ,则 k 为( )CcBbAasinisinA 奎 屯王 新 敞新 疆2R B奎 屯王 新 敞新 疆R C奎 屯王 新 敞新 疆4R D奎 屯王 新 敞新 疆 (R 为 ABC 外接圆半径)212 奎 屯王 新 敞新 疆 ABC 中，sin 2A=sin2B+sin2C，则 ABC 为( )A 奎 屯王 新 敞新 疆 直角三角形 B奎

8、屯王 新 敞新 疆 等腰直角三角形C 奎 屯王 新 敞新 疆 等边三角形 D 奎 屯王 新 敞新 疆 等腰三角形3 奎 屯王 新 敞新 疆 在 ABC 中，sin Asin B 是 A B 的A 奎 屯王 新 敞新 疆 充分不必要条件 B 奎 屯王 新 敞新 疆 必要不充分条件 C 奎 屯王 新 敞新 疆 充要条件 D 奎 屯王 新 敞新 疆 既不充分也不必要条件4 奎 屯王 新 敞新 疆 在 ABC 中，求证： 2221cosbaa参考答案：1.A，2.A 3.C4 奎 屯王 新 敞新 疆 BbAasinibini )sin()i(B22 22co1csaA222cosba五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1 奎 屯王 新 敞新 疆 在 ABC 中，已知 ，求证： a2， b2， c2成等差数列 奎 屯王 新 敞新 疆)sin(iCBA证明：由已知得 sin（ B C）sin（ B C）sin（ A B）sin（ A B） cos2Bcos2 Ccos2 Acos2 B2cos2Bcos2 Acos2 C 2cos1cs2cos12sin 2Bsin 2Asin 2C由正弦定理可得 2b2 a2 c2即 a2， b2， c2成等差数列 奎 屯王 新 敞新 疆 3.课本第 4 页练习及 P10 习题 1.1 第 1、2 两题