1.2.1正弦、余弦定理应用.doc

1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 6 页051075CBA1.2.1 解斜三角形学习目的：1 奎 屯王 新 敞新 疆 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法； 2 奎 屯王 新 敞新 疆 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3 奎 屯王 新 敞新 疆 理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4 奎 屯王 新 敞新 疆 通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 奎 屯王 新 敞新 疆 学习重点：实际问题向数学

2、问题的转化及解斜三角形的方法 奎 屯王 新 敞新 疆学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 奎 屯王 新 敞新 疆课程过程：一、复习引入：1正弦定理： RCcBbAa2sinisin2余弦定理： ,o22Abca2s,cs22acbB，Cbos22abc2cs3解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力 奎 屯王 新 敞新 疆 下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解范例：应用一

3、：测量距离例 1 如图 设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离. 测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m, BAC=510, ACB=750.求 A、B 两点间的距离.（精确到 0.1m）解：根据正弦定理，得 sinsiABC5inAB英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 2 页 共 6 页05sin7i(18)06.(sin54m答：A、B 两点间的距离为 65.7 米例 2 如图 1.2-2 设 A、B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量A、B 两点间距离的方法。BAD

4、C 分析：用例 1 的方法，可以计算出河的这一岸的一点 C 到对岸两点的距离，再测出BCA 的大小，借助于余弦定理可以计算出 A、B 两点间距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得BCA= , ACD=, CDB= , BDA=.在ADC 和BDC 中，应用正弦定理得： 0sin()sin()18aaAC0iis()si()B2ABCA=cos.计 算 出 和 后 ， 再 在 中 ， 应 用 余 弦 定 理 计 算 出两 点 间 的 距 离例 3 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度 奎 屯王 新 敞新 疆 已知

5、车箱的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车箱支点 A 之间的距离为 195，AB 与水平线之间的夹角为 620，AC 长为 140，计算 BC 的长(保留三个有效数字) 奎 屯王 新 敞新 疆分析：求油泵顶杆 BC 的长度也就是在 ABC 内，求边长 BC 的问题，而根据已知条件，英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 6 页AC140， AB195 ， BAC606206620.相当于已知 ABC 的两边和它们的夹角，所以求解 BC 可根据余弦定理 奎 屯王 新 敞新 疆 解：由余弦定理，得 BC2 AB2 AC22 AB

6、ACcosA195 2140 22195140cos66203571 BC189 （） 答：油泵顶杆 BC 约长 189 奎 屯王 新 敞新 疆 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来 奎 屯王 新 敞新 疆 例 4 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45、距离 A 为 10 海里的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以9 海里的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 21 海里的速度前去

7、营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间 奎 屯王 新 敞新 疆分析：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的1，2 可以求出，而 AC 已知， BC、 AB 均可用 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题 奎 屯王 新 敞新 疆解：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 ，则 AB21 海里， BC9 海里， AC10 海里， ACB1245（180105）120，根据余弦定理，可得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos120得(21 )210 2（9 ） 22109 cos120，即 36 29 2100解得 1 ，

8、 2 (舍去)315 AB21 14， BC9 6 再由余弦定理可得 cos BAC ,9286.01422ACB BAC2147，4521476647 奎 屯王 新 敞新 疆 所以舰艇方位角为 6647， 小时即 40 分钟 奎 屯王 新 敞新 疆 3答：舰艇应以 6647的方位角方向航行，靠近渔船则需要 40 分钟 奎 屯王 新 敞新 疆 评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0，360） 奎 屯王 新 敞新 疆 在利用余弦定理建立方程求出 后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理 奎 屯王 新 敞新

9、 疆 例 5 用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是 和 ，已知 B、 D 间的距离为 a，测角仪的高度是 b，求气球的高度 奎 屯王 新 敞新 疆分析：在 Rt EGA 中求解 EG，只有角 一个条件，需要再有一边长被确定，而 EAC 中有较多已知条件，故可在 EAC 中考虑 EA 边长的求解，而在 EAC 中有角 ， EAC180 两角与 BD a 一边，故可以利用正弦定理求解 EA 奎 屯王 新 敞新 疆解：在 ACE 中， AC BD a， ACE ， AEC ，英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标

10、理念， 优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 6 页根据正弦定理，得 AE )sin(a在 Rt AEG 中， EG AEsin )i(s EF EG b b， )sin(a答：气球的高度是 b 奎 屯王 新 敞新 疆)i(评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设 EG ，在 Rt EGA中，利用 cot 表示 AG；在 Rt EGC 中，利用 cot 表示 CG，而 CG AG CA BD a，故可以求出 EG，又 GF CD b，故 EF 高度可求 奎 屯王 新 敞新 疆例 6 如图所示，已知半圆的直径 AB2，点 C 在 AB 的延长线上， BC1，点 P 为半圆上的

11、一个动点，以 DC 为边作等边 PCD，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值 奎 屯王 新 敞新 疆分析：要求四边形 OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点 P 在半圆上运动与POB 大小变化之间的联系，自然引入POB 作为自变量建立函数关系 奎 屯王 新 敞新 疆 四边形 OPDC 可以分成OPC 与等边PDC， OPC 可用 OPOCsin 表示，21而等边PDC 的面积关键在于边长求解，而边长 PC 可以在POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决 奎 屯王 新 敞新 疆 解

12、：设 POB ，四边形面积为 ，则在 POC 中，由余弦定理得： PC2 OP2 OC22 OPOCcos 54cos OPC PCD (54cos )sin21432sin( )345当 即 时， max2 奎 屯王 新 敞新 疆26435评述：本题中余弦定理为表示 PCD 的面积，从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性 奎 屯王 新 敞新 疆另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式 sin（ ）sin cos cos sin 的构造及逆用，应要求学生予以重视 奎 屯王 新 敞

13、新 疆 三、课堂练习：英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 5 页 共 6 页1 奎 屯王 新 敞新 疆 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处( 1)海里的 B 处有一艘走私船3 奎 屯王 新 敞新 疆在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10 海里时的速3度追截走私船，此时走私船正以 10 海里时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜 奎 屯王 新 敞新 疆 问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间 奎 屯王 新 敞新 疆 解：设辑私船应沿 CD 方向行驶

14、 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD10 海里， BD10 海里 奎 屯王 新 敞新 疆 3 BC2 AB2 AC22 ABACcosA（ 1） 22 22（ 1）2cos1206, BC36sinisini026BCAQ ABC45， B 点在 C 点的正东方向上， CBD9030120 sinsin10sin21,3DtCQ BCD30, DCE903060 由 CBD120， BCD30 得 D30 BD BC，即 10 6 (小时)15(分钟)106答：辑私船沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约 15 分钟 奎 屯王 新 敞新 疆四、小结 通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力 奎 屯王 新 敞新 疆CcBbAasinsi 2=+ o cab cs22b+c-as-cabAB英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 6 页 共 6 页五、课后作业：课本 19 页习题 1.2 A 组 14 题