弧长的公式、扇形面积公式及其应用.doc

1、【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三. 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点 1、弧长公式因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C2 R，所以 1的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n 表示 1的圆心角的倍

2、数，n 和 180 都不带单位“度”，例如，圆的半径 R10，计算 20的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成 。（2）在弧长公式中，已知 l， n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角为 1的扇形面积是 ，由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是。又因为扇形的弧长 ，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计算公式： 。知识点 3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做

3、弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB 的面积和AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，例：如图所示，O 的半径为 2，ABC 45，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用 表示）分析：由图可知 由圆周角定理可知ABC AOC，所以AOC 2ABC 90，所以OAC 是直角三角形，所以，所以注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长 弧长 圆面

4、积 扇形面积公式（2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则圆柱的侧面积 ，圆柱的全面积知识小结：圆

5、锥与圆柱的比较名称 圆锥 圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的，如 RtSOA 绕直线 SO旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD 绕直线 AB 旋转一周。图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面侧面展开图的特征 扇形 矩形面积计算方法【典型例题】例 1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 2，1，AOB120，则阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为 ，所以故答案为：B.例 2. （2004陕西）如图所示，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，连接AC，BC ，AB10 厘米，tanBAC ，求

6、阴影部分的面积。分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为 90，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。解：因为 AB 为直径，所以ACB90， 在 Rt ABC 中，AB10， tanBAC ，而 tanBAC设 BC3k，AC4k，（k 不为 0，且为正数）由勾股定理得所以 BC6，AC8， ，而所以例 3. （2003. 福州）如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角为直角，正方形 OCDE 内接于扇形 AOB，点 C，E，D 分别在 OA，OB 及 AB 弧上，过点 A 作 AFED 交 ED 的延长线于 F，垂足为 F，如果正方形的边长为 1，那么阴影部分的面积为（ ）

7、分析：连接 OD，由正方形性质可知EODDOC45，在 RtOED 中，OD ，因为正方形的边长为 1，所以 OEDE 1，所以 ，设两部分阴影的面积中的一部分为 M，另一部分为 N，则 ，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为 P，因为BODDOC，所以所以 MP，所以答案： 。例 4. 如图所示，直角梯形 ABCD 中，B90，ADBC，AB2，BC 7， AD3，以 BC 为轴把直角梯形 ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。分析：将直角梯形 ABCD 绕 BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面

8、积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解：作 DHBC 于 H，所以 DHAB2CHBC BHBC AD7 34在CDH 中，所以例 5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为 120，面积为 300 平方厘米（1）求扇形的弧长。（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？分析：（1）由扇形面积公式 ，可得扇形半径 R，扇形的弧长可由弧长公式 求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形 ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为 C2 r，底面圆半径 r 即 CD 的长可求，圆锥的高 AD 可在 RtADC 中求得，所以可求。解：（

9、1）设扇形的半径为 R，由 ，得 ，解得 R30.所以扇形的弧长 （厘米）。（2）如图所示，在等腰三角形 ABC 中，ABACR30，BC2r，底面圆周长C2 r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以在 Rt ADC 中，高 AD所以轴截面面积 （平方厘米）。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是 45，面积为 2，则这个扇形的半径是（ ）A. 4 B. 2 C. 47 D. 2 2. 扇形的圆心角是 60，则扇形的面积是所在图面积的（ ）A. B. C. D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）A. 90 B. C. D.1804. 两同

10、心圆的圆心是 O，大圆的半径是以 OA，OB 分别交小圆于点 M， N已知大圆半径是小圆半径的 3 倍，则扇形 OAB 的面积是扇形 OMN 的面积的（ ）A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍5. 半圆 O 的直径为 6cm， BAC30，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D.6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）A. 30 B. 60 C. 90 D. 1208. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开

11、图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为12，则它们的高之比为（ ）A. 2：1 B. 3：2 C. 2 ： D. 5：9. 如图，在ABC 中，C Rt ，AC BC，若以 AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧面积为 S1，以 BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为 S2，则（ ）A. S1S 2 B. S1 S2 C. S1 S2 D. S1、S 2 的大小关系不确定二、填空题1. 扇形的弧长是 12cm，其圆心角是 90，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是cm2.2. 扇形的半径是一个圆的半径的 3 倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .3. 已知扇形面积是 12c

12、m2，半径为 8cm，则扇形周长为 .4 在ABC 中，AB3，AC4，A90，把 RtABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为 S1；把 RtABC 绕 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为 S2，则 S1： S2 。5. 一个圆柱形容器的底面直径为 2cm，要用一块圆心角为 240的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。6. 如图，扇形 AOB 的圆心角为 60，半径为 6cm，C ， D 分别是 的三等分点，则阴影部分的面积是 。7. 如图正方形的边长为 2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以 2 为半径画弧，则阴影部

13、分面积为 。三、计算题1. 如图，在 RtABC 中，ACBC ，以 A 为圆心画弧 ，交 AB 于点 D，交 AC 延长线于点 F，交 BC 于点 E，若图中两个阴影部分的面积相等，求 AC 与 AF 的长度之比（ 取 3）。2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是 S1，另一个圆锥的侧面积是 S2，如果圆锥和圆柱等底等高，求 3. 圆锥的底面半径是 R，母线长是 3R，M 是底面圆周上一点，从点 M 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到 M 点，求这根绳子的最短长度【试题答案】一、选择题1. A2. B3. C4. D5. B6. B7. B8. C9. B二、填空题1、24 1442、403、19cm4、3：45、36、27、2 4三、计算题1、连接 AE，则 ，所以2、3、连接展开图的两个端点 MM，即是最短长度。利用等量关系得出MAM120，AMD30 ，AD ，