1、1平面几何的几个重要定理托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即： ；内 接 于 圆 ， 则 有 ：设 四 边 形 BDACCDAB ；内 接 于 圆 时 ， 等 式 成 立并 且 当 且 仅 当 四 边 形中 ， 有 ：定 理 ： 在 四 边 形 BDAC一、直接应用托勒密定理例 1 如图 2，P 是正ABC 外接圆的劣弧 上任一点(不与 B、C 重合)， 求证：PA=PBPC分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗若借助托勒密定理论证，则有 PABC=
2、PBACPC AB，AB=BC=AC PA=PB+PC四 点 共 圆 时 成 立 ；、上 时 成 立 ， 即 当 且 仅 当在且 等 号 当 且 仅 当 相 似和 且又 相 似和则 ： ， 使内 取 点证 ： 在 四 边 形 DCBABDEACCABEEADBCADCBEEA)(E D CB A2二、完善图形 借助托勒密定理例 2 证明“勾股定理 ”：在 RtABC 中，B=90，求证：AC 2=AB2BC 2证明：如图，作以 RtABC 的斜边 AC 为一对角线的矩形 ABCD，显然 ABCD 是圆内接四边形由托勒密定理，有ACBD=ABCDADBC 又ABCD 是矩形，AB=CD，AD=B
3、C，AC=BD 把代人，得 AC2=AB2BC 2例 3 如图，在 ABC 中， A 的平分 线交外接圆于 D，连结 BD，求证：ADBC=BD(ABAC)证明：连结 CD，依托勒密定理，有 ADBCAB CDAC BD1=2， BD=CD故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、构造图形 借助托勒密定理例 4 若 a、b、x、y 是实数，且 a2b 2=1，x 2y 2=1求证：axby1证明：如图作直径 AB=1 的圆，在 AB 两边任作 RtACB 和 RtADB，3使 ACa ，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知 a、b 、x、 y 是满足题设条件的据托勒密定理，有 ACB
4、DBCAD=ABCDCDAB1 ，axby1四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例 5 已知 a、b、c 是ABC 的三边，且 a2=b(bc)，求证：A=2B分析：将 a2=b(bc)变形为 aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为 b，两对角线为 a，一底边为 c证明：如图 ，作ABC 的外接圆，以 A 为圆心， BC 为半径作弧交圆于 D，连结 BD、 DC、DAAD=BC，ABD=BAC又BDA=ACB(对同弧 )，1= 2依托勒密定理，有 BCAD=ABCDBDAC 而已知 a2=b(bc)，即 aa=bcb 2 BAC=2 ABC4五、巧变形 妙引线
5、借肋托勒密定理例 6 在ABC 中，已知 ABC=1 2 4，分析：将结论变形为 ACBCAB BC=ABAC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形如图，作ABC 的外接圆，作弦 BD=BC，边结 AD、CD在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，有 ACBDBC AD=ABCD易证 AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC ，51.已知ABC 中，B=2C。求证：AC 2=AB2+ABBC。【分析】过 A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。2 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证： 。（第 21 届全苏数学竞赛）PMABLCK PNLKABC求 证 ： ，和、作 垂 线与、分 别 向 边上 一 点外 接 圆 的 弧由.3PMABLCKPMCABLPKPBLKLRttAPCAB 可 得 ：由同 理 可 得 ： 相 似和可 知由即 ： 利 用 托 勒 密 定 理 有 ：， 对 于 四 边 形、证 ： 连 接6
