新课标下竞赛题转化策略浅析.doc

1、1初中数学论文新课标下竞赛题转化策略浅析数学竞赛就是以各个知识点为基础，对已有的问题或变形，或删减条件，或本末倒置，或重新整合，或另辟新路，使数学问题显得既熟悉又陌生，好象有路又好象没路。直到你走完了才恍然大悟，不得不为出题者的构思所折服。它是源于生活高于生活，始于基础知识又高于基础知识，一句话就是要活学活用各种数学思想方法，为达目的誓不罢休。数学思想方法是数学知识更高层次上的抽象与概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，迁移并作用于相关学科和社会生活，而转化思想是数学思想方法的核心，从广义上讲，数学解题的过程就是恰当地运用已知条件将问题逐步转化，从而获得解决的过程。在数学考试竞赛中，

2、我们会碰到各种类型的题目。比如实际应用问题，可转化为数学模型（代数模型、几何模型） 。常见的数学模型及相关问题归类如下：模型 相关内容方程 工程、行程、质量分数、增长率（降低率） 、利息、存货、调配、面积等函数 方案优化、风险估算、成本最低、利润最大、几何动态不等式、统计、概率 最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、设资估算解直角三角形 测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算线性规划初步 产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估，利润分配生产方案设计再比如目前十分流行的几何动态问题（动点，动直线，动图形） ，可以用动与静的辩证关系，最终把动态问题转化为特定条件下的

3、静态计算问题。在具体解题过程中，当然会用到一些具体的转化策略：一、 复杂问题一般化，突显本原G波利亚在怎样解题中指出：“更普遍的问题可能更易于求解。 ”例 1 =（ ）22分析：此题由于省略号的出现，使计算繁琐，而且没有明确显示根号内是 2 减多少。但有一点可以肯定，这是一个循环运算。考查 X=0.9.210X=9.99X=9X=1可以借助这个办法。解：设 X= 22则有 X2=2 +得 X 2+X=2X=1 或 X= 20X=1 即 原式=1二、 退一步，海阔天空有些问题，有些时候，局部情况相当复杂，如果盲目进入局部探索、往往会陷入云里雾中。此时，如果能退一步，从整体上把握方向，常会找到问题

4、的简明解法。例 2 1024 名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军。问：应进行多少场比赛？为什么？解法 1 因每两人比赛一场，第一轮要比赛 场，第二轮要比赛场 ，第210421043，4，5，6，7，8，9 轮分别要比赛 ， ， ， ，345,678场，第 10 轮比赛 场，最终决出冠军。92101204可见，共应比赛+ + + + + + + + + =512+256+128+64+423145672048192041032+16+8+4+2+1=1023（场）解法 2 从整体思想考虑，即从淘汰制看，每场比赛总要淘汰一名选手，现在1024 名选手中要决出冠军，需淘汰 1023 名选手，因此需要

5、进行 1023 场比赛。上面两种解法比较，显然，解法 2 简洁明快，美不胜收。从中可以品到应用整体思想解题的特点。三、 数形结合，互相转化“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象。形中有数，数中有形，两者结合，威力无比。正如华罗庚教授指出的那样：“数无形，少直观；形无数，难入微” ，我们应仔细挖掘题目中数与形的结合点，通过数形结合，化难为易。例 3|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是_.（第十三届江苏省初中数学竞赛试题）3分析：设数轴上的点 A、B、C 对应的数依次为-1，2，3。那么问题的实质就是在数轴上找一点表示数 x 的点 x，使点 x 到点 A、B、C 之间的距离之和为最小。

6、显然，当点 x 与点 B 重合时，距离之和最小，它等于 A、C 两点距离，若点 x 不与点 B 重合，例如在 A、B 间某一位置， （如图）则距离之和等于 xA+xB+xC=AC+ xB AC,于是，本题答案为当 x=2 时取得最小值为 4。四、 一般问题，特殊化由于特殊问题比较简单，而特殊问题的解决常常孕育着一般问题的解决，华罗庚教授讲：“这是一般的研究方法，先足够地退到我们容易看清问题的地方去，看透了，钻深了，然后再上去。 ”例 4、设（2x-1） 5=a x5+ a x4+a x3+ a x2+ a x+a10（1） a + a + a +a + a + a0125（2）a - a +

7、a -a + a - a34（3）a + a + a 的值。024解（1）令 x=1 即得 a + a + a +a + a + a =1。012345（2） 令 x=-1 即得 a - a + a -a + a - a =-243（3）由上述解得： a + a + a= （1243）=-12102五、 反戈一击，立竿见影反证法是间接证法中的一种，在解某个数学问题时，若感到条件“不足”或无从下手，不妨考虑使用反证法。反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件，从原结论的相反结论出发，再利用原有的一些已知条件，导出矛盾，从而达到否定假设，肯定原命题的目的。例 5 要将 29 个数学竞赛的名额分配

8、给 10 所学校，每校至少要分到一个名额。求证：（1） 不管怎样分配，至少有 3 个学校得到的名额相同。（2） 如果分到相同名额的学校小于 4，则 29 名选手至少有 5 名来自同一学校。 解：（1）若没有 3 个学校得到相同的名额，由于每校至少一名，则最节约的方案是：2 个学校各得 1 名；2 个学校各得 2 名；2 个学校各得 3 名；2 个学校各得 4 名；2个学校各得 5 名。这样，最少要 2（1+2+3+4+5）=30 个名额，但只有 29 个名额，不够分配。（2）若每个学校分得的名额都不超过 4，则在分到相同名额的学校小于 4 的条件下，10 校派出的选手不超 11+32+33+34=28。数学解题的成功需要大量的经验知识积累：（1（ 多跑阅览室，在课余可以坐一会，既可以放松也是可学习到许多其它老师的经验；（2（ 多跑书店，许多新的好书是我们需要收藏的，也可以推荐给学生；4（3（ 多和同事交流，三个臭皮匠顶个诸葛亮，思维的撞击才能产生更多的火花；（4（ 多做精选的试题，多做变式训练，真正把学来的知识转化为自身的东西。数学题就像是一间里面藏有珍宝而又被锁起来的屋子，而我们这些心灵手巧的工匠就站在屋子的前面