1、上海市尚德实验学校 杨晓 Email:初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式 ax=b(a0)，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成 1。2、方程 ax=b(a、b 为常数)的解的情形当 a0 时，方程 ax=b 有唯一解 abx当 a=0，b=0 时，方程 ax=b 有无数多个解，即方程的解为任何有理数。当 a=
2、0，b0 时，方程 ax=b 无解。3、一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元” ，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4、不定方程不定方程(组) 是指未知数的个数多于方程个数的方程(组) 。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组) ，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程 ax+by=c (a、b 互质)有一组整数解为 x0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为： )k(0为 任 意 整 数这 里ayx5、一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是 1 的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是 axb 或 axb，那么 bb，bc，那么 a
3、c(3) 平移性 如果 ab，那么 a+cb+c(4) 伸缩性 如果 ab，c0，那么 acbc如果 ab，c0 时，解为 x 即 7-2m27m276当 m= 即 7-2m=0，m 2+6= 时，解为一切实数。418(2) ;23;34xx x分 为 三 段 ： 的 取 值 范 围零 点 分 段 法 ， 可 把， 由和的 零 点 分 别 是与当 x 时，原不等式可化为 -x+4+2x-31，解得 x0当 时，原不等式可化为-x+4-2x+31，解得 x2423所以，原不等式的解为 2x4当 x4 时，原不等式可化为 x-4-2x+31，解得 x-2所以，原不等式的解为 x4综上所述，原不等式
4、的解集为 x0 或 x2评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于 0、小于 0、等于0 三种情况讨论。2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。例 9 已知 m、n 为实数，若不等式 (2m-n) x+3m-4n0 的解。解：由(2m-n) x+3m-4n0 得 85xm0 的解集为 41x评注：本题的关键是确定未知数 x 的系数，从而才能求出不等式的解。方法是首先求出 m、n 的关系，再代入确定未知数 x 的系数。上海市尚德实验学校 杨晓 Email:例 10 已知关于 x 的方程： ，当 m 为某些负整数时，方程的解为17834x负整数，试求负整数 m 的
5、最大值。解：原方程化简整理得： 2421x， 可 得因为 m 为负整数，所以 必为小于-1 的负整数x4所以 4154x， 即，而要使 为负整数，x 必是 21 的倍数，所以 x 的最大值为-2121因为当 x 取最大值时，m 也取得最大值，所以 m 的最大值为 -3三、巩固练习选择题1、方程 的解是( )20120132xxA、2000 B、2001 C、2002 D、20032、关于 x 的方程 的解是负数，则 k 的值为( )5kA、k B、k C、k= D、以上解答都不是123、已知 xyz0，且 ，则 的值为( )03zyx223zyxA、 B、 C、- D、以上答案都不对26767
6、4、方程组 的整数解的个数是( )198yxA、0 B、3 C、5 D、以上结论都不对。5、如果关于 x 的不等式 同解，则 a ( )512axx与A、不存在 B、等于-3 C、等于 D、大于 526、若正数 x、y、z 满足不等式组上海市尚德实验学校 杨晓 Email:则 x、y、z 的大小关系是( )zxyz412535326A、xyz B、yzx C、zxy D、不能确定填空题7、方程 的解为 013cbacbaxbacx其 中8、关于 x 的方程 2a (x+5)=3x+1 无解，则 a= 9、关于 x、y 的两个方程组 和 有相同的解，则72yx1395yxa= ，b= 10、不定
7、方程 4x+7y=20 的整数解是 11、不等式 的解集为 514xx12、已知有理数 x 满足： ，若 的最小值为327232xa，最大值为 b，则 ab= 解答题13、解方程 21031- xx14、解关于 x 的方程： )(mnn15、解方程组： 1720yx16、解方程组： cyxzba3517、某宾馆有大小两种客房，大房间每间能住 7 人，小房间每间能住 4 人，现有 41人住店，问需大小房间各多少间，刚好使床位数不多也不少？上海市尚德实验学校 杨晓 Email:18、求方程组 的正整数解。3675329zyx19、解不等式：(1) bxa48(2) 23520、k 为什么数时，方程组 的解为正数？68yxk
