一个工科博士生对所受的大学数学教育的反思.doc

1、一个工科博士生对所受的大学数学教育的反思高等几何（仿射，射影几何等） 对于计算机图形学，计算机视觉等研究是非常重要的基础知识。我是国内工科毕业，现在美国读计算机视觉的博士。以前觉得自己的数学很好，其实只是会考试，会计算，会一些小技巧而已。并不真懂数学。真正使我在数学方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了线性代数和高等几何之后的事情了。其实微积分是比较简单的，而且学习的思路可以沿袭中国中学数学的学习思路。但是线性代数（以及泛函分析）和高等几何其中蕴涵的方法，思路跟我们传统的数学内容有较大的区别了。如果仅仅满足于会做微积分，会解题，那并不困难，但是要真正理解数学，可能需要对线性代数和高等几何下

2、一番功夫了。我这里仅仅是就一个一般工程师所需要的数学素养而言的，对于特定的研究，可能还需要有一些专门的数学知识。对于数学专业的，我觉得你有足够的时间去思考，揣摩数学到底本质是什么了。1、线性代数，国内的教学，以前一上来就是行列式，有很多复杂的行列式计算题目，其实这根本不反映线性代数的根本的思想。我觉得线性代数从应用方面，应该强调解方程组，包括矛盾方程组（最小二乘法）；在实际中最有用的是一般的矩阵（m！n），而不是方阵。就数学思想方面来说，向量空间，线性空间的概念是现代数学的核心基础观念，其重要性超过微积分。对工程实践中大量存在的线性问题，线性代数，数值线性代数，是最重要的工具。数值线性代数的重

3、要性超过数值分析。2、高等几何，主要是向大家揭示了多种不同公理体系并行存在的可能性。非欧几何对一个人对数学的理解是非常必要的冲击。光知道欧氏几何，不知道射影几何，非欧几何，对公理化数学的理解必然保留在一个低的水平上。希尔波特的几何公理一书本身没有用到多少高深的概念，但是其反映的是现代公理化思想。射影几何本身在数学研究内，已经死掉了，正如，现在的数学家不会成天研究平面欧式几何的难题一样，尽管有些初中生就能看懂的平面几何题目可能难倒不少数学家。但是射影几何在应用上，尤其是计算机图形学上，是个基础。基于上面的分析，我觉得一个真正希望打好数学基础的人，应该相当注意代数，几何的继续学习，不要停留在满足于

4、知道一个名词，会算，要真正去思考，领会这些东西的实质。关于数学历史学习的一些建议：学习数学，不了解历史，很容易自卑。看着教科书上的严谨和美轮美奂，一个人很容易怀疑自己的智力。但是当你了解了历史上数学发展过程的种种曲折之后，你就知道，其实这些都是经过整理，包装后的结果。历史上一些革命性的观念，多是朴素的。最初的发现者，未必就清楚的明了其发现的价值。而很多有价值的观念，来自于科学，工程的实践。了解一个观念，一个理论产生，发展，修缮的历史，对于真正的理解他，对于一个人真正进入“角色”，有极其重要的意义。如果光是看教科书，而不看数学历史的话，就如同历史研究者光看正史，不看野史一样，掌握的东西很可能是不

5、完整，不全面的。中国高等数学教育缺陷刍议，我简单的罗列一下我的看法，具体内容尚待日后补充。1 、重计算，轻思想；2 、重微积分，轻代数，几何；3 、重理论严谨，轻实际应用；4 、与计算机时代的要求不相衔接；5 、重抽象，轻直观。按照中国高等工程数学的教学标准，笔者算一个相当好的学生，但是真正回想起来，中国高等工程教育给我的，只是会解一些题目，掌握一些手算技巧罢了。对于真正的数学思想，领会的不多，更不用说得心应手的予以运用了。我个人业余读了以下的几本书，也提出来跟大家共享一下，1、项武义在香港科技大学的基础数学讲义（网上可以下载电子版）， 高屋建瓴，深入浅出。项以前是伯克利的数学教授。早在 19

6、80 年代，项就在北大讲微积分课程，并出了书，微积分大意2、龚升的微积分五讲。台湾数学传播杂志上看的，国内据说出书了，但是还没看到 据说同时还有一本从 module 的角度讲线性代数的，也没看。龚是以院士水平讲大学基础课3、MIT Strang G 教授的 线性代数，应用数学系列讲座， 请 google “MIT 18.06“， “MIT18.085“ “MIT 18.086“ 有录像 我觉得 Strang G 先生最大的成功就是把线性代数中最重要的思想给突出出来了。他有一本书 linear algebra and its applications 他有一项本事，在课上从来没有严谨的证明，但是

7、把理论，定理都渗透在很简单的例子里面了。他的课程跟中国国内老师的中规中矩的教学形成了鲜明的对比（指的是工科教学）。他讲的应用数学以矩阵，线性代数为基本语言，符合现代计算数学的潮流，我觉得很值得参考。他的应用数学书籍 一本是 1986 年出的，一本是 2007 年新出的，现在网上有三章免费下载，这里不具体写了（有心人找的到）。例子，以前华中理工大学 于寅 教授出过一本 现代数学基础，据说是华工博士生教材。这本书可以当作国内工科数学教学的代表。里面除了把数学系的基本书抄录，拼凑一下以外，基本没有考虑到工科学生的特点，当然可能作者本身也没有这个功力和阅历能写好一本真正结合工程实际的好数学书了。4、国

8、内齐民友教授 出了一本 重温微积分， 这本书，我觉得对提高数学专业的人的分析素养，很有裨益，但是对工科数学关心的人，不必太花时间了。因为个人认为分析不是工科数学的重点。而国内在分析数学上的训练，足够你去进一步深入学习其他的东西了。顺带说一句，据齐先生的说法，重温微积分，是依照苏联 辛钦的 数学分析八讲 来写的。他很多年前翻译的那本小黄书笔者是见过的，但是没有仔细研究。我始终觉得数学的美，更多的反映在代数和几何上，分析的东西，没有太多的美在里面。goodboybon 的发言：我在国内也是读工科的，现在在德国读数学（逆算子的完备性）和量子计算机（量子数据的查询和检索）两个博士方向，算得上是理工双博

9、士生。如楼主所言，国内的数学确实是重计算，轻思想。不过如果说到，线性代数几何要比微积分重要。我个人觉得有值得商榷之处。说到底，微积分线性代数和几何都是是一些面向本科学生的基础课程。当你读到博士，这些数学知识自然就不够了。我个人认为，把泛函分析引入工科课程是一个比较合适的办法。泛函分析深刻揭示微积分线性代数和几何的内在关系和内在本质。在德国，工科博士，如机械专业、计算机专业，泛函分析都是必修课（我本人在写量子数据方向的论文的时候也要用到如 “希尔伯特空间上的空间算子”等概念）。楼主人为分析不如代数美，我个人也认为值得商榷。分析研究的对象是“连续”的，而线性代数往往倾向于研究“离散”的东西。我可以

10、在这里做一个或许不太恰当的说明，我们把一个向量的维度从一个自然数 n 拓展到无限的阿尔列夫 1 的时候，它就变成一个连续函数，而把一个算子，如积分算子看成是一个无穷维的矩阵。我们就发现其实，线性代数可以“分析化”，而“分析”也可以“线性代数化”。这种一而二，二而一的思想，不是恰好体现出了两者之美，数学之美吗？再说关于抽象和直观。也许是工科学生比较喜欢直观，而理科学生喜欢抽象。但是我个人认为，两者也是应该合二为一。或者，我提一个小小的建议，工科学生尽量让自己多“抽象”一点，而理科学生尽量让自己多“直观”一点。工科学生强调直观，就导致了往往只观察现象，而不思考本质；而理科学生又往往只在抽象的空中楼

11、阁中洋洋自得，自以为掌握了一切真理。我以前曾经和不少工科计算机博士生接触过，我发现他们当中很多人连一些最基本的概念都没有弄懂，如什么是“模型”，什么是“对象”。我一问他们，他们就说“ 比如正态分布是一个模型”，一个公司可以看成“一个对象”，单纯地把模型理解为“正态分布”，或者把对象就理解为“一个公司”，体现了缺乏对这些抽象概念本质的理解。而一些理科学生，尤其是哲学博士生一谈到什么，就是满口的“公理 定义 定理”，而谈不到实处，给人一种夸夸其谈的感觉。 以计算机科学为例，各位工科同学不妨思考一下，到底什么是“模型”“对象”“实体”属性”这些概念，答案不能是一个例子，如“正态分布就是一个模型”，必须是一个无歧义的数学定义。而理科的同学不妨思考一下，我所学的东西，在现实生活中 3 维有没有一个简单的模型或是一个体现，如果有，这个现实的体现和抽象的概念为什么在本质上是一致的？以上说法供大家参考。