1、9.8 距离（二）备用例题第 1 页共 3 页距离（二）备用例题利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题例如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，E、 F 分别是 AB、AD 的中点， GC平面ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离分析：由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离解：如图，设4i， 4j， 2k，以 i、j、k 为坐标CDBCG向量建立空间直角坐标系 Cxyz由题设 C(0,0,0
2、)，A(4,4,0)，B(0,4,0) ，D(4,0,0)，E(2,4,0) ，F(4,2,0) ，G(0,0,2) ， ，)0,2(BE)0,24(F， ，4GE,F设 平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a、b、c，使得 ，BcbaB)1(cba (2a+4b,2b4c,2c),40(),24()0,2(cB由 平面 EFG，得 ， ，于是， GEF 10),2(),42,(cbac整理得： ，解得 10235cba715cba9.8 距离（二）备用例题第 2 页共 3 页 BM(2a+4b,2b4c ,2c) )16,2( 1|2故点 B
3、到平面 EFG 的距离为 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例 2 已知正方体 ABCD 的棱长为 1，DCBA求直线 与 AC 的距离DA分析：设异面直线 、AC 的公垂线是直线 l，则线段 在直线 l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设 i， j， k，以ABCBi、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 xyz，则有， ， ， )0,1(A)1,(D),0()1,( ， ， ,)1,0(A设 n 是直线 l 方向上的单位向量，则 ),(zyx 22zyx n ，n ，DAC ，解得 或 1022zyx 3zyx 3zyx取 n ，则向量 在直线 l 上的投影为)3,(An A ),(1,0(9.8 距离（二）备用例题第 3 页共 3 页由两个向量的数量积的几何意义知，直线 与 AC 的距离为 DA3
