1、竞赛讲座 25绝对值与二次根式1 绝对值例 1(1986 年扬州初一竞赛题)设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0p15.对于满足px15 的 x 的来说,T 的最小值是多少?解由已知条件可得T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.当 px15 时,上式中在 x 取最大值时 T 最小;当 x=15 时,T=30-15=15,故 T 的最小值是 15.例 2 若两数绝对值之和等于绝对值之积,且这两数都不等于 0.试证这两个数都不在-1 与-之间.证 设两数为 a、b,则|a|+|b|=|a|b|.|b|=|a|b|-|a|=|a|(|b|-1).ab0,|
2、a|0,|b|0.|b|-1=0,|b|1.同理可证|a|1.a、b 都不在-1 与 1 之间.例 3 设 a、b 是实数,证明|a|-|b|a+b|a|+|b|.证明 当|a|-|b|0 时,|a|-|b|a+b|成立.当|a|-|b|0 时,由于(|a|-|b|)2-|a+b|2=(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab)=-2(|ab|-ab)0,|a|-|b|a+b|.同理可证|a+b|a|+|b|.2 根式在根式进行化简、求值和证明的过程中,常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等,现举例如下:(1)配方法:将二次根号内的式子配成完全平方式,将三次根号下的式子配成
3、完全立方式.例 4 (1981 年宁波初中竞赛题)设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值.解=4-=2+(2-),故 x=2,y=2-,x+y+=4-+2+=6.例 5 化简解 原式=|x+3|+|x-1|-|x-2|.令 x+3=0,x-1=0,x-2=0.得 x=-3,x=1,x=2,这些点把数轴划分成四个部分:当 x-3 时原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4;当-3x1 时,原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2;当 1x2 时,原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x;当 x2 时,原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4.说明:将根号下
4、含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论,是解这类问题的一般技巧.例 6 化简(a0).解原式=a0. a22b2,原式=例 7 求证:证明:=原式=4.(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号例 8 已知求证:(x+y+z)3=27xyz.证明:两边立方x+y+即再边再立方得(x+y+z)3=27xyz.例 9 已知求证 证明 设则即 同理可设则A+B=由 A+B=a,得 (2) 比较系数法例 10 求满足条件的自然数 a、x、y.解 将等式两边平方得x、y、a 都是自然数.只能是无理数,否则与等式左边是无理数相矛盾.x+y=a,xy=6.由条件可知 xy 且 x
5、、y 是自然数.当 x=6 时,y=1,得 a=7.当 x=3 时,y=2,得 a=5.故 x=6,y=1,a=7.或 x=3,y=2,a=5.例 11 化简分析 被开方式展开后得 13+2,含有三个不同的根式,且系数都是 2,可看成是将平方得来的.解 设=,两边平方得13+2=x+y+z+2比较系数,得 由有,代入,得代入,得 y2=52,y=5(x、y、z 非负) ,=1,原式=1+(4)设参法例 12 (1986 年数理化接力赛题)设(a1,a2,an,b1,b2,bn 都是正数).求证:=证明 设且 a1=b1k,a2=b2k,,an=bnk.左边=右边=左边=右边(5)公式法、代数变
6、换及其他例 13 已知 x=求 x3+12x 的值.解 由公式(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b)可得=8-3=8-12x.x3+12x=8.例 14 设求 x4+y4+(x+y)4.解 由条件知x+y=5,xy=1.原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=(x+y)2-2xy2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例 15 (1978 年罗马尼亚竞赛题)对于 aR,确定的所有可能的值.解 记 y=. 先假定 a0,这时 y0,把两边平方得即 再平方,整理后得从而 0.由知 y22a2+2-2=2.再由知 y21,0y1.反过来,对于0,1中的每一个
7、y 值,由可以定出 a,并且这时 2a2+2-y20,故可由逆推出和,因而在 a0 时,的值域为(0,1).同样在 a0 时,的值域为(-1,0) ,综上的值域是(-1,1).练习十七1 选择题(1)若实数 x 满足方程|1-x|=1+|x|,那么等于( ).(A)x-1(B)1-x(C)(x-1) (D)1(E)-1(2)方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的积为( ).(A)-6 (B)3 (C)-3 (D)6 (E)-18(3)已知最简根式与是同类根式,则满足条件的 a、b 的值( ).(A) 不存在 (B)有一组 (C)有二组 (D)多于二组2 空题(1) 已知|x-8y
8、|+(4y-1)2+则 x+y+z=_.(2) 若 abc0,l1=乘积中最小的一个是_.(3) 已知 0x1,化简(4) 已知则(5) (北京市 1989 年高一数学竞赛题)设 x 是实数,且 f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f(x)的最小值等于_.3.化简(a0).4.已知 ab0,a2+b2=a2b2,化简5如果 x0,y0,且试求的值.6 (第 8 届美国教学邀请赛试题)求的值.7求适合下列各式的 x、y;(1)若 x、y 为有理数,且(2)若 x、y 为整数,8已知求证 a2+b2=1.9已知 A=求证11A3-B312A3+B313.10
9、(1985 年武汉初二数学竞赛题)已知其中 a、b 都是正数.(1) 当 b 取什么样的值时,的值恰好为 b?(2) 当 b 取什么样的值时,的值恰好为?练习十七1.略2 (1)3 (2)l (3)2x (4)a2-2 (5)6.当时,当时,若,原式;若,原式原式原式 ()(),;,由条件知两边平方后整理得再平方得 1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0 即 1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,1-(a2+b2)2=0,a2+b2=1.9.A2+B2=6,AB=2,(A+B)2=1,A+B=,A-B=,A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=当 b0 时,原式值为 b,当 0b1 时,原式值为