第18讲函数与方程.doc

1、第 18 讲 函数与方程一、要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点：概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)(Dxfy y0)(f的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交fyx点 函数 有零点。f二次函数 的零点：)0(2acbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有x两个零点；），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有一个2 x交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程 无实根，二次函数的图02cba象与 轴无交点，

2、二次函数无零点。x零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(xfy,ba，那么函数 在区间 内有零点。既存在 ，使得 ，这个0)(bfa ),()(f也就是方程的根。c2.二分法二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不ab)(afbf0)(xfy断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的)(xf方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf（1）确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；（2）求区间 ， 的中点 ；（3）计abab0a()b1x算 ：)(xf若 = ，则

3、 就是函数的零点；若 0，f(x) 在区间p，q上的最大值 M，最小值 m，令 x0= (p+q)。1若 p，则 f(p)=m，f(q)=M；若 p x0，则 f( )=m，f(q)=M；bb2b若 x0 q，则 f(p)=M， f( )=m；若 q，则 f(p)=M，f(q)=m。a2aa（3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af(r)0；二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r 0)(,2,4rfabc二次方程 f(x)=0 在区间(p，q)内有两根 ;0)(,2,4pfaqbac二次方程 f(x)=

4、0 在区间(p，q)内只有一根 f(p)f(q)0，或 f(p)=0(检验) 或 f(q)=0(检验)检验另一根若在( p， q)内成立。二、典例解析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设 a 为常数，试讨论方程 的实根的个数。)lg()3l()1lg(xax解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横坐标 ，显然在区间(1，3)内，由此可排除 A，D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j至于选 B 还是选 C，由于

5、画0x图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较 与 2 的大小。当 x=20时，lgx=lg2，3-x =1。由于 lg21，因此 2，从而判定 (2，3)，故本题应选0C。（2）原方程等价于 即xaxa)3(103152x构造函数 和 ，作出它们的图像，52yy易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：当 或 时，原方程有一解；当 时，原方31a4413a程有两解；当 或 时，原方程无解。题型 2：零点存在性定理例 2若函数 在区间a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）)(xfyA若 ，不存在实数 使得 ；0),(bac0)(cfB若 ，存在且只存

6、在一个实数 使得 ；,)(fC若 ，有可能存在实数 使得 ； )(fD若 ，有可能不存在实数 使得 ；ba),(解析：由零点存在性定理可知选项 D 不正确；对于选项 B，可通过反例“ 在区)1()(xxf间 上满足 ，但其存在三个解 ”推翻；同时选项 A 可通过反例“2,0)2(f 1,0在区间 上满足 ，但其存在两个解 ”；选项 C 正确，见1)(xf ,)2(f 1,实例“ 在区间 上满足 ，但其存在实数解” 。2题型 3：二分法的概念例 3关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将 在a,b 内的所有零点得到；)(xfyx0321321oyxXY 2

7、 3 423 瑨 灴 眯睷 愮敬 瑮浵 挮浯 愯牧 灡 敨 O 5xayB“二分法”求方程的近似解有可能得不到 在a,b 内的零点；)(xfyC应用“二分法”求方程的近似解， 在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解 可能得到 在 a,b内的精确解；0f解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。例 4方程 在0，1内的近似解，用“二分法” 计算到 达到精确度要求。那么所取0)(xf 45.01x误差限

8、 是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当 时，精度达到 。此时差限 是)45.0,.10x .100.0005，选项为 C。题型 4：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例 5 设二次函数 ，方程 的两个根 满足fxabc2 fxx12,. 当 时，证明 。01,xf1证明：由题意可知 ， ,)()(21fa021 , 当 时， 。)(21xax0,xf(又 ,)( 21121 axf ,02aa且 1综上可知，所给问题获证。例 6已知二次函数 ，设方程 的两个实数根为 和 . )0()(2Rbxxf xf)(1x2（1）如果 ，设函数

9、 的对称轴为 ，求证： ；41 )fx10（2）如果 ， ，求 的取值范围.12解析：设 ，则 的二根为 和 。()(afg )(g12（1）由 及 ，可得 ，即 ，即0a421x0)4(g0346ba,0432,3ab两式相加得 ，所以， ；110x（2）由 , 可得 。abx4)()(221)(22b又 ，所以 同号。01a21,x ， 等价于 或 ,2x1)(102bax1)(0212bax即 或 解之得 或 。1)(120)2bag1)(0)2bag47题型 5：一元二次函数与一元二次不等式例 7设 ，若 ， ， , 试证明：对于任意fxabxc20f1ff 1，有 。1f54解析：

10、,cfbaf0,1 ,0)1(2)0(2 ffa .221xfxfxxf 当 时，0122 222222 20115(1)().4xffff xxxxx当 时，10222 10fffxf 221xx综上，问题获证。)1(222 xx 25().4x例 8已知二次函数 ，当 时，有 ，求证：当fabc()11fx时，有x7解析：由题意知： ，cbaff)(,)0(, ，)0(,2)(21()(21 fffa 。fxbxc 221)1(xxfx由 时，有 ，可得 。1f(),ff ,7)0(3)(3013)2( fff。1fff（1）若 ，则 在 上单调，故当 时，,abx2,2,x)2(mx()

11、(afff 此时问题获证. （2）若 ，则当 时，,b2,x )2,)(2max()( abfff又 ， 7414)1042 bfabcaf 此时问题获证。综上可知：当 时，有 。2x7fx(点评：研究 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参)(xf数 . 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑 ， ， ，这样做的好处有两cb, )1)0(f个：一是 的表达较为简洁，二是由于 正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好a01和地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。要考虑 在区间 上函数值的取值范围，只需考xf7,虑其最大值，也即考虑 在区间端点和顶

12、点处的函数值。xf题型 6：二次函数的图像与性质例 9在下列图象中，二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=（ ） x的图象只可能是（ ）ab解析一：由指数函数图象可以看出 0 1.抛物线方程是 y=a（x+ ） 2 ，其顶点坐标为abb4a（ ， ） ，又由 0 1，可得 0.观察选择支，可选 A。ab242 21解析二：求 y=ax2+bx 与 x 轴的交点，令 ax2+bx=0，解得 x=0 或 x= ，而1 0.故选 A。b例 10设 aR，函数 f(x)=x2+|xa|+1,x R. （1）讨论 f(x)的奇偶性；（2）求 f(x)的最小值.解：（1）显然 a=0 时，f(x)

13、为偶函数，当 a0 时，f(a)=a 2+1, f(a)=a 2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0， 此时 f(x)为非奇非偶函数.（2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论.当 xa 时， .若 ,则 f(x)在区间（-，a上单调递43122 1减， f(x)的最小值为 f(a)=a2+1.(如图(I)若 ，则 f(x)在区间（-，a 上的最小值为 （如图 II).21f)2(当 xa 时， ，43)21()(2 axaxf若 ，则 f(x)在a,+上的最小值为 （如图 III）。21f若 ，则 f(x)在a,+上单调递增。则 f(x)在a,+ 上的最小值为 f(a)=a2+1

14、.(如图 IV)。综上，当 时，f(x )最小值为 。当 时，f( x)最小值为 a2+1。214321a当 时，f(x )最小值为 。21a43a题型 7：二次函数的综合问题例 11已知函数 和 的图象关于原点对称，且 。fgx2fx()求函数 的解析式； () 解不等式 ；gx1gx()若 在 上是增函数，求实数 的取值范围。1hf,解析：()设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则y0,Qy,Pxy00,2.,xxy即点 在函数 的图象上，0Qyfx 222,yxyxgxx， 即 故()由 2110gxf， 可 得当 时， ，此时不等式无解。当 时， ，解得 。1202101因

15、此，原不等式的解集为 。,2（） 211hxxx 4,当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ， 1 .当 时 ， 对 称 轴 的 方 程 为） ）1,1.当 时 ,解 得 ,10.1当 时 ,解 得 0.综 上 ，例 12已知函数 。()2xaf（1）将 的图象向右平移两个单位，得到函数 ，求函数 的解析式；y )(xgy)(xgy（2）函数 与函数 的图象关于直线 对称，求函数 的解析式；h)(xgy h（3）设 ，已知 的最小值是 且 ，求实数 的取值范围。)(1)(xfaFFm72a解析：(1) ;2xaxg(2)设 的图像上一点 ，点 关于 的对称点为 ，由点 Q 在hyyP,y,1yx,的图像上，所以 ，于是 即x2 2xa;2xah（3） 。设 ，则 。)4(1)(1)( xaaxfaF t 14)(tF问题转化为： 对 恒成立. 即74t 0t对 恒成立. （*）172t故必有 .（否则，若 ，则关于 的二次函数 开口向下，04a4at 1474)(2atatu当 充分大时，必有 ；而当 时，显然不能保证（*）成立.） ，此时，由于二次函数ttu0的对称轴 ，所以，问题等价于 ，即147)(2attu 0847at 0t，解之得： 。此时， ，故01470a214,a在 取得最小值 满足条件。2)(txFat4)1( 22m