1、 http:/ 上海高三地理家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！不尽的探索 无穷的乐趣引例 如图1，在ABC 中，ABC 、ACB 的平分线相交于点 O，试判断BOC 与A 的关系？说明你的理由图1解：BOC=90 + A理由：BO 平分ABC，CO 平分ACB，1= ABC，2= ACB1+2= (ABC+ACB)在ABC 中，ABC+ACB=180 -A1+2= (180-A)=90- A在BOC 中，BOC=180 -(1+2)=180-(90- A)=90 + A由此我们得到这样一个结论：结论1：三角形两内角平分线的夹角等于第三个内角的一半的余角的补角如果把题
2、目中的内角平分线，改为外角的平分线，那么BOC 与A 的关系又如何呢？http:/ 上海高三地理家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！探索一：如图2，ABC 的外角CBM、BCN 的平分线相交于点 O，试判断BOC 与A 的关系？说明你的理由图2解：BOC=90 - A理由：BO 平分CBM，CO 平分BCN，1= CBM，2= BCN1+2= (CBM +BCN)CBM=180 -ABC ，BCN=180-ACB，CBM + BCN =360-( ABC+ACB )=360-(180-A)=180 +A1+2= (180+A)=90+ A在BOC 中，BOC=180
3、-(1+2)http:/ 上海高三地理家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！=180-(90+ A)=90- A说明：在计算CBM +BCN 时，也可利用三角形的外角性质，即CBM =A +ACB，BCN= A+ABC，所以CBM +BCN=(A+ ACB+ABC)+A=180+A 为了利用结论1，本题也可以这样说明理由：如图3，分别作ABC 和ACB 的平分线 BP 和 CP，BP 和 CP 相交于点 P，根据“一对邻补角的平分线互相垂直”(此结论留给同学们自己探索)，可得PBO=90，PCO=90又四边形 PBOC 的内角和等于360 ，所以 BOC= 360-90
4、-90-BPC=180- BPC图3利用结论1，可得BPC=90 + A所以BOC=180 -(90+ A)=90 - A由此我们得到这样一个结论：结论2：三角形两外角平分线的夹角等于与这两外角不相邻的内角的一半的余角以上分别是两内角平分线与两外角平分线相交的情况，如果是一内角的平分线与一外角的平分线相交，结果又会如何呢？探索二：如图4，在ABC 中，内角ABC 的平分线与外角ACD 的平分线相交于点 O，试说明BOC 与A 的关系？说明你的理由http:/ 上海高三地理家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！图4解：BOC= A理由：BO 平分ABC，CO 平分ACD，
5、ABC=2 1，ACD=2 2又2是BOC 的外角，2=1+BOC，即BOC= 2-1又ACD 是ABC 的外角，ACD=ABC + A ，即 A=ACD -ABCA=2 2-21=2 (2-1)=2BOCBOC= A为了利用结论1，本题也可以这样说明理由：如图5，作ACB 的平分线 CP 交 BO 于点 P，利用结论1可知BPC=90+ A根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知PCO=90又BPC 是PCO 的外角，所以BPC=BOC+ BPC，即90+ A= BOC+90 BOC= Ahttp:/ 上海高三地理家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！图5为了利用结论2
6、，本题也可以作ABC 的外角平分线与 CO 的反向延长线相交于点 P(如图6)，易证CP 是ABC 的外角BCE 的平分线，根据 “一对邻补角的平分线互相垂直 ”可知PBO=90 又由结论2可知BPC=90 - A ，所以BOC=180-PBO-BPC=180-90-(90- A)= A图6同学们，阅读此文，你是否有一种沉浸在不尽的探索和喜悦之中，在探索的过程中，我们又利用探索出来的结论(或者叫做我们的小发明或小创造吧)去探索新的结论，你是否有一种小小的成就感呢？有人算过这样一笔帐，一只蜜蜂要酿出一公斤蜂蜜，需要来回飞行大约三十万公里，吸吮大约一千二百万个花朵的液汁每次采集回来，还需要把液汁从
7、胃里吐出来，由另一只蜜蜂吸到自己的胃里，如此吞吞吐吐一百二十次到三百四十以次，液汁才成为蜜汁，并最终变成浓稠的蜂蜜由此可见积累的重要性，学习数学也需要积累数学解题能力的提高，需要积累丰富的解题经验，并适当记住一些简洁的结论，可以快速抓住问题的本质，简化思维过程，提高解题效率快乐体验：1如图7，BD 平分ABC，CD 平分外角ACE，A=70，求D 的度数图7http:/ 上海高三地理家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！2如图8，BD 平分ABC，CD 平分ACB，A=70，求D 的度数图83如图9，BD 平分CBE，CD 平分BCF，A=70，求D 的度数图94如图10，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP =(提示：先证 AP 是ABC 的外角平分线 )图10参考答案：135；2125；355；450
