中考数学压轴题常见解题方法和思路.doc

1、 知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760中考数学压轴题常见解题方法和思路1中考数学压轴题概述1.1 压轴题的概念中考数学试卷中的试题排列顺序通常都遵循着“从简单到复杂、从易到难”的原则。中考试题中按题型分类的排列顺序一般是：一、选择题（客观题，有些地方将其称作“第卷”）；二、填空题（形式简单的主观题）；三、解答题（二、三也合称第卷）。在这三类题型中，思维难度较大的题目一般都设置在各类题型的最后一题，被称作压轴题。中考压轴题按其题型的区别及在整个试卷中的位置情况又可分为两类：选择题和填空题型的压轴题，常被称作小压轴题；解答题型压轴题（也即整个试卷

2、的最后一题），叫大压轴题，通常所说的压轴题一般都指大压轴题。1.2 压轴题的特点中考数学压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活。纵观近几年全国各地数学中考压轴题，呈现了百花齐放的局面，就题型而言，除传统的函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。中考压轴题主要是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其思维难度高，综合性强，往往都具有较强的选拔功能，是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生的试题。在课程改革不断向前推进的形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富的、公平的

3、背景、精巧优美的结构，综合体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台。1.3 压轴题应对策略针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关。要有效地解答中考压轴题，关键是要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化，调适学生心理，增强学生信心。知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760学生在压轴

4、题上的困难可能来自多方面的原因，如：基础知识和基本技能的欠缺、解题经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。学生在压轴题上的具体困难则可能是：“不知从何处下手，不知向何方前进”。在求解中考数学压轴题时，重视一些数学思想方法的灵活应用，是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”的重要前提。本文就 2009 年全国各地部分中考压轴题为例，简要分析一些重要的数学思想方法在求解中考压轴题时的重要作用。2求解中考压轴题的常见思想方法2.1 分类讨论思想代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。例 1（2009 年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形 OABC 的边 OA 在轴

5、的正半轴上，OC 在 轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E。（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G。如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的PCG 是等腰

6、三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）由ADEBCD，及已知条件求得 E、D、C 坐标，进而求出过点 E、D、C的抛物线的解析式：知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760（2）EF=2GO 成立点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 ，点 M 的纵坐标为 设 DM 的解析式为将点 D、M 的坐标分别代入，得解得 DM 的解析式为 F（0，3） EF=2过点 D 作 DKOC 于点 K，则 DA=DKDAFDKG，KG=AF=1，GO=1 EF=2GO（3） 点 P 在 AB 上，G（1，0），C（3，0），则设 P

7、（t，2）PG =（t1） +2 ，PC =（3t） +2 ，GC=2若 PG=PC，则（t1） +2 =（3t） +2解得 t=2P（2，2），此时点 Q 与点 P 重合Q（2，2）若 PG=GC，则（t1） +2 =2 ，解得 t=1，P（1，2） 此时 GPx 轴GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1，点 Q 的纵坐标为 Q（1， ）若 PC=GC，则（3t） +2 =2 ，解得 t=3，P（3，2）知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760此时 PC=GC=2，P 与 D 重合过点 Q 作 QHx 轴于点 H，则 QH=GH

8、，设 QH=h，Q（h+1，h） 解得 （舍去）Q（ ， ）综上所述，存在三个满足条件的点 Q，即 Q（2，2）或 Q（1， ）或 Q（ ， ）思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。第问结合“形” 的特征，求出点 D、E、C 的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数法可求得二次函数解析式。体现 了解函数问题时常用到的“ 数形结合”思想。第由 D、M 所在直线与 y 轴相交哦于 F，可求得 F 点坐标 ，并求出 EF 的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设 法构造全等求出 OG。得证结论。解决第问的关系是将EF、OG 转化为可求的已知量，得到其 长度关系。体 现出数学

9、解题中的“ 转化思想”。本题的第问讨论存在性问题。要使 PCG 是等腰三角形，其中 G、C 为定点， P 为不确定的点，因此应考虑 GC 为腰、GC 为底，并考虑 G、C、P 分 别为顶点等多种情况进行分类讨论。假设存在 P 点，结合 P 点的位置，通过设置 P 点坐标参数，用所设参数表示出相应三角形边长，由等腰三角形的性质 ，构造相 应方程，可求出 P 点坐标。第问不仅体现了分类讨论思想，还考察了用方程建模的能力。2.2 转化思想代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。例 2已知：Rt

10、ABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0， n0），连接 DP 交 BC 于点 E。当BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标。（3 分）又连接 CD、CP（如图 3），CDP 是否有最大面积？若有，求出CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。（3 分）解析：由 RtAOCRtCOB 易知，CO 2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760 A(-1,0) B(4,0) C(0

11、,2) 可设解析式为 y=a(x+1)(x-4)，将点 C(0,2)代入，可求 a= 为所求 ； 提示：ED=EB 时，过 E 作 BD 垂线，可得直线 BC 的解析式为 ，设 ，利用勾股定理和点 在直线BC 上，可得两个方程组 分别可求 和 。方法 1：连 OP。如图 4。P（m，n）在抛物线 上P（m， ）SCPO =S 四边形 ODPCS OCD=SPOC + SPDO S OCD = OC|xp|+ OD|yp| OCOD= 2m+ 2（ ） 22= m + m= （m ） +知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760当 m= 时，S CP

12、O 面积最大，此时 P（ ， ）方法 2：过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，如图 5。易求 PC 的解析式为 ，且 ，故当 时， ，思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题第问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活 设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。第问，虽然题目要求是直接写出 点 E 的坐标。但点 E 的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多 样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。第问是本题的难点。题中的面 积表示，要 结合 P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性

13、 质，有效表示 BCD 的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和 P 点坐标表示的面积。方法 1 是将四边形分割成两个三角形POC、POD，方法 2，是通过过 D 点作垂线，直接将BDC 转化为 PDM、CDM。23 极端值思想代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。例 3已知 为线段 上的动点，点在射线 上，且满足 （如图 1 所示）知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760（1）当 ，且点 与点 重合时（如图 2 所示），求线段 的长；（2）在图 1 中，联结 当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距离为 ， ，其中 表示 的面积

14、， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图 3 所示），求 的大小。解析：（1）AD=2，且 Q 点与 B 点重合。由 =1，PB（Q）=PC，PQC 为等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45=3 = 。（2）如图：作 PEBC，PFAQ。BQ=x，则 AQ=2x。由BPFBDP， = = ，又 BF=PE = ，PF= PESAPQ= （2x）PF，SPBC= 3PE知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760y= （2x）P 点与 D 点重合时，此时 CQ 取最大值。过 D 作

15、 DHBC。CD= ，此时 = ， = ，PQ= ，BQ=ABAQ=函数的定义域：0x(3)方法 1：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ垂直于 PC，与 AB 交于 Q点，则：B，Q，P，C 四点共圆。由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q与点 Q 重合，所以角QPC=90方法 2：如图 3，作 PMBC，PNAB。由 = = ，即 =PNQPMC MPCNPN，QPC=MPCQPBNPQQPM90思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。第问，线段的比值 不变， Q 在特殊点（与 B

16、点重合），由 AD=AB=2，故PQ（B）=PC，PQC 为等腰直角三角形。利用几何性质可求出 PC。第问中利用三角形相似比， 结合已知条件中的固定线段比，找出PAQ、PBC 高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二 问中写出函数的定 义域则是难点。需分析出 P 点运动的极端情况，当 P 与 D 重合 时，BQ 取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的固定线段比，求出此时 BQ 的 长度，既 为 BQ 的最大值。体现极端值思想。中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通 过构造相似形求 证。24 数形结合思想（用好几何性质）代表性题型：函数与几何综合题。例 4在平面直角坐标系 xOy 中，

17、已知抛物线 y=a（x+1） +c（a0）与 x 轴交于A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线 MC 的函数表达式为,与 x 轴的交点为 N，且 COSBCO 。知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760求次抛物线的函数表达式。(2)在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总

18、有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?解析：由直线 y=kx3 与 y 轴交点坐标为 C（0，3）抛物线 y=a（x+1） +c（a0）开口向上，过 C（0，3）A、B 在 y 轴两侧，B 在 y 轴右侧。如图。RtAOC 中，OC=3，cosBCO= BC= ，OB=1B（1，0） 又 B（1，0），C（0，3）在 y=a（x+1） +c 上抛物线解析式 y=x +2x3由抛物线顶点 M（1，4），直线 y=kx3 过 M，直线解析式 y=x3N（3，0） NOC 为等腰直角三角形假设抛物线上存在点 P 使NPC 为以 NC 为一条直角边的直角三角形。

19、PC 为另一条直角边。PCCN，而 A 与 N 关于 y 轴对称在抛物线上。存在 P1（3，0）使NPC 为以 NC 为一条直角边的直角三角形PN 为另一条直角边。PNCN，则PNO=45设 PN 交 y 轴于点 D，则 D（0，3）PN 所在直线 y=x+3知识典溯源学习法，中小学智能学习平台 知识典教与学讨论高级 QQ 群：163391760由 解得 存在 P2（ ， ），P 3（ ， ）使NPC 为以 NC为一条直角边的直角三角形。满足条件的点有 P1（3，0），P 2（ ， ），P 3（ ，）若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移 b 个单位（b0）。此时抛物线的解析式为：y=x +2x

20、3+b抛物线与线段 NQ 总有交点，即由抛物线解析式、直线 MC 所在直线解析式组成的方程组有解。由 消除 y 得 x +x+b=0，=14b0， 0b 向上最多可平移 个单位若向下平移 b 个单位（b0），设 y=x +2x3b由 y=x+3，可求得 Q（3，6），N（3，0）对于抛物线 y=x +2x3b当 x3，y=b，抛物线与直线 y=x+3 有交点，则需b-6，b6当 x=3 时，y=12b，抛物线与直线 y=x+3 有交点，则 12-b0，b12。向下最多可平移 12 个单位。思想方法解读：本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。第问中，由直线解析式求出 C 点坐标，由 C 点坐标结合 a0，判定抛物线与 x 轴交点的大致位置。并结合 cosBCO= ，求出 B 点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的解析式。第问，以 NC 为直角边的直角三角形，应分 C、N 分别为直角顶点分类讨论。结合相应点的坐标及垂直条件，利用 45角的几何性质，分析得到 A 点满足条件，并求出 PNNC 时，PN 所在直线的解析式，是解题的关键。