1、第 1 页 共 8 页希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号1某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 Aa% B(1+a)% C. D.10a0a2甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,0am，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 A甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少B甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多C甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同D甲杯中混入的蓝墨水与
2、乙杯中混入的红墨水多少关系不定3.已知数x=100,则 Ax是完全平方数B(x50)是完全平方数C(x25)是完全平方数D(x+50)是完全平方数4观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则 的1,abc大小关系是 A. ; B. ; C. ; D. .1abc1bac1ba1cab5x=9，y=4是二元二次方程2x 2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有 A2组 B6组C12组 D16组二、填空题（每题1分，共5分）1方程|1990x1990|=1990的根是_2对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+bycxy，其中的a，b
3、，c表示第 2 页 共 8 页已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m0），则m的数值是_3新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开_次4当m=_时，二元二次六项式6x 2+mxy4y 2x+17y15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积5三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）_某个自然数的平方三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果每题5分，共15分）1两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速
4、直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？第 3 页 共 8 页2如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S 1，S 2，S 3满足关系式S3= S1= S2,求S3.求方程 的正整数解.156xyz
5、第 4 页 共 8 页答案与提示一、选择题提示：1设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的 应选D2从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是 乙杯中减少的蓝墨水的数量是 =选C第 5 页 共 8 页x25=(10 n+2+5)2可知应当选C4由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出，选C5方程2x 2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1235x，y是整数，2x+3y，x+y也是整数由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D二、填空题提示
6、：第 6 页 共 8 页1原方程可以变形为|x1|=1，即x-1=1或-1，x=2或02由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m0)得a0+bm-c0m=0，bm=0m0，b=0等式改为x*y=ax-cxy1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1题设的等式即x*y=5x-xy在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，m=43打开所有关闭着的20个房间，最多要试开4利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y 2，17y这两
7、项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x 2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=55设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1) 2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，第 7 页 共 8 页(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自
8、然数的平方三、解答题1设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x24，x8甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x8，所以当x=8时，得最大值30(48-48)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(608+480)=1920（公里）2由题设可得即2S-5S 3=8x，y，z都1，第 8 页 共 8 页因此，当1xyz时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组由于x，y，z在方程中地位平等所以可得如下表所列的15组解
