1、竞赛讲座 07-面积问题和面积方法基础知识1面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用设 ， 分别为角 的对边， 为 的高， 、 分别为 外接圆、ABCcba,CBA,ahRrABC内切圆的半径， 则 的面积有如下公式：)(21p（1） ； aABChS（2） bcsin（3） )()(cppABC（4） rarS21（5） RbcABC4（6） CBsinsi2（7） )i(aSABC（8） 21cbra（9） )2sini(sinCBARSABC2面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；
2、（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若 和 的公共边 所在直线与直线 交于 ，则PABQABPQM；MSQABP:（7）共角比例定理：在 和 中，若 或 ，则C180ACBA3张角定理：如图，由 点出发的三条射线 ，设 ， ，PPCBA,CPB，则 三点共线的充要条件是：180PCBA,PCAPB)sin(isin例题分析例 1梯形 的对角线 相交于 ，且 ， ，求DB
3、A,OmSABnCODABCDS例 2在凸五边形 中，设 ，求此五边形的面E 1 EABCDEBCS积例 3 是 内一点，连结 并延长与 分别交于 ， 、GABCGA, , F,G 、 的面积分别为 40，30，35，求 的面积FDA例 4 分别是 的边 和 上的点，且 ，求RQP, BC, 1RCQPB的面积的最大值 ABC例 5过 内一点引三边的平行线 ， ， ，点DEFGCHIA都在 的边上， 表示六边形 的面积， 表示IHGFED,A1S2S 的面积求证： 213S例 6在直角 中， 是斜边 上的高，过 的内心与 的内心的直线分BCBCABD别交边 和 于 和 ， 和 的面积分别记为
4、和 求证： KLKLSTTS2例 7锐角三角形 中，角 等分线与三角形的外接圆交于一点 ，点 、 与此类似，A 11BC直线 与 、 两角的外角平分线将于一点 ，点 、 与此类似求证：1 00C（1）三角形 的面积是六边形 的面积的二倍；0CB1BAC（2）三角形 的面积至少是三角形 的四倍A例 8在 中， 将其周长三等分，且 在边 上，求证： RQP, QP,A92ABCPQRS例 9在锐角 的边 边上有两点 、 ，满足 ，作 ，BCEFFBEM（ 是垂足） ，延长 交 的外接圆于点 ，证明四边形 与AFMN,ACDDN的面积相等B三面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它
5、的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题例 10凸六边形 内接于 ，且 ， ，求此ABCDEFO13DCBA1FAE六边形的面积例 11已知 的三边 ，现在 上取 ，在 延长线上截取 ，cbaBABC在 上截取 ，求证： C CBAS例 12 在 内，且 ，求征：BAC ABCCABASS 例 13在 的三边 上分别取点 ，使 ，, FED, ED3,，连 相交得三角形 ，已知三角形 的面积为 13，求三角形FBA3CFED,PQRABC的面积PQR例 14 为圆内接四边形 的 边的中点， 于 ， 于 ， 于ABDEFEHCDEG，求证： 平分 GH例 15已知边长为 的 ，过其内心 任
6、作一直线分别交 于 点，求证：,cbaCIAB,NM,bcaINM例 16正 正 ， ， ， ， ，PQR1aAB1b2aCD2bE， 求证： 3aEF3A322321 例 17在正 内任取一点 ，设 点关于三边 的对称点分别为 ，则BCOAB, CBA,相交于一点 ,P例 18已知 是正六边形 的两条对角线，点 分别内分 ，且使EA,ABCDEFNM,E，如果 三点共线，试求 的值kCNMNM, k例 19设在凸四边形 中，直线 以 为直径的圆相切，求证：当且仅当 BC时，直线 与以 为直径的圆相切DB训练题1设 的面积为 10 ， 分别是 边上的点，且A2cmFED,CAB,若 ，求 的面
7、积,3,2cBAS2过 内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将 分成六部份，其中，三部BC 份为三角形，其面积为 ，求三角形 的面积321,3在 的三边 上分别取不与端点重合的三点 ，求证： ，ACLKM,AL中至少有一个的面积不大于 的面积的 LKBM, ABC414锐角 的顶角 的平分线交 边于 ，又交三角形的外接圆于 ，过 作 和LNB边的垂线 和 ,垂足是 ，求证：四边形 的面积等于 的 面积CMK, C5在等腰直角三角形 的斜边 上取一点 ，使 ，作 交 于 ，ABCDB31ADEE求证： E6三条直线 互相平行， 在 的两侧，且 间的距离为 ， 间的距离为 1，若nml,nl,
8、ml,2nm,正 的三个顶点分别在 上，求正 的边长ABCABC7已知 及其内任一点 ，直线 分别交对边于 （ ） ，证明：在321PPi iQ3,1这三个值中，至少有一个不大于 2，并且至少有一个不小于 2321,PQ8点 和 分别在 的边 和 上，点 和 将线段 分为三等分，直线 和DEABCKMDEBK分别与边 相交于点 和 ，证明： BMTPACT319已知 P 是 内一点，延长 分别交对边于 ，其中 ，, B,xAP，且 ，求 之值wBAzCy, ,2wzyxxyz10过点 P 作四条射线与直线 分别交于 和 ，求证：l, DCBA,DBA11四边形 的两对对边的延长线分别交 ，过 作直线与对角线 的延长CLK, BDAC,线分别 ，求证： FG, KGL12 为 的重心，过 作直线交 于 ，求证： ABACB,FE, GF2
