1、第 5讲 联想“模型函数”破解抽象函数题抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐.因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.然而抽象来源于具体，抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，可联想到 f(x)=kx(k0)，有 f(x1)=kx1 ，f(x 2)=kx2，f(x 1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)，则 y=kx 就可以作为抽象函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)
2、+f(y)的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数” ，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解，是我们解决抽象函数问题的一般方法.有鉴于此，本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数” ，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.一、中学阶段学过的常见“模型函数”抽象函数 模型函数f(x+y)=f(x)+f(y) y=kx（k 为常数）f(x+y)=f(x)+f(y)-a y=kx+a（k,a 为常数）f(x+y)=f(x)f(y) y=ax（a0 且 a1）f(xy
3、)=f(x)+f(y) y= (a0 且 a1)logf(xy)=f(x) f(y) y=xn（n 为常数）注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等.二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析【例 1】已知函数 f(x)对于任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且当 x0 时，f(x) 0，f(-1)=-2，求函数 f(x)在区间-2，1上的值域.联想：由 f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=kx（k 为常数）为奇函数，k0 时为减函数，k0 时为增函数，从而猜测：f(x)为奇函数且 f(x)
4、为 R 上的单调增函数，且 f(x)在2,1上有 f(x)4,2.【例 2】函数 对任意 、 R，都有 ，并且当 时，)(xfab1)()(bfabf 0x.（1）求证： 是 R 上的增函数；)(xf )(f（2）若 ，解不等式 .54323m联想：由 联想“模型函数”y=kx+1（k 为常数） ，由条件易知1)bafk0，从而猜测：f(x)为 R 上的单调增函数，【例 3】已知函数 f(x)对于一切实数 x、y 满足 f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当 x0时，f(x)1， （1）当 x0 时，求 f(x)的取值范围；（2）判断 f(x)在 R 上的单调性联想：由 f(x+y)
5、=f(x)f(y)联想“模型函数”y=a x（a0,a1） ，当 a1 时为单调增函数，且 x0 时，y1，x0 时，0y1；0a1 时为单调减函数，且 x0 时，y1，x0 时，0y1，从而猜测： f(x)为减函数，且当 x0 时，0f(x)1.【例 4】设函数 定义在 R 上，对任意实数 ， ，恒有)(xfymn，且当 时， .)(nmnf01)(xf（1）求证： ，且当 时， ；10（2）求证： 在 R 上递减；(f（3）设集合 ，)()|,2fyfxfyA，aayxB,|),若 ，求 的取值范围.【例 5】已知函数 f(x)定义域为(0,+)且单调递增，满足 f(4)=1，f(xy)=
6、f(x)+f(y),（1）证明 f(1)=0；（2）求 f(16)；（3）若 f(x)+f(x-3)1，求 x 的范围；（4）试证 f(xn)=nf(x)（nN）.联想：由 f(xy)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y= （a0，a0）, 从而猜测：f(x)xlog有 f(1)=0，f(16)=2，【例 6】已知函数 f(x)对于一切正实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y)且 x1 时，f(x)1，f(2)= .（1）求证：f(x)0；（2）求证：f(x)在（0，+）上为单调减函数；9（3）若 f(m)=9，试求 m 的值.联想：由 f(xy)=f(x)f(y)联想“模型函数”y
7、=x a，从而猜测：f(x)0，在（0，+）上为单调减函数，【练习】1函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是_.yfx()(， 1yfxlog()22已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ，求证：fy(是偶函数. f()3 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那么 在区间fx()37， fx()上是( )7，A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为4已知 的定义域为 ，且 对一切正实数 x，y 都成立，若fx()Rfxyfy()()，则 _.f825已知 是定义在 R 上的函数，且满足： ，f() fff()()21
8、，求 的值.109f(0)f6已知函数 是定义域为 R 的偶函数， 时， 是增函数，若 ，xx0fx()x10，且 ，则 的大小关系是_.x2|12fxf()()12，7已知函数 对一切实数 x 都满足 ，并且 有三个实根，f() 1f()则这三个实根之和是_.8已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1, 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2008)=_.9.若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_对称.yfx()2yf()10已知函数 定义在实数集上，且对任意 均有y,，又对任意的 x0,都有 f(x)0 时，f(x)0，且 f(2)=-1. (1)求证：f(x) 为奇函数； (2)试问函数 f(x)在区间-2008,2008上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由.
