理论力学教程思考题答案第三版.doc

1、第一章思考题解答1.1 答：平均速度是运动质点在某一时间间隔 tt内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿 t对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在 0t的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。1.2 答：质点运动时，径向速度 rV和横向速度 的大小、方向都改变，而 ra中的 只反映了 rV本身大小的改变， a中的 只是 本身大小的改变。事实上，横向速度方向的改变会引起径向速度 r大小大改变， 2r就是反映这种改变的加速度分量；经向速度 r的方向改变也引起 的大小改变，另一个 即为反

2、映这种改变的加速度分量，故 2a， .2a。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3 答：内禀方程中， n是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于 a恒位于密切面内，速度 v总是沿轨迹的切线方向，而 na垂直于 v指向曲线凹陷一方，故 n总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时， 0,bFz 何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力 F，还受到被动的约反作用力 R，二者在副法线方向的分量成平衡力0bR，故 ba符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某

3、时刻若 b与 大小不等， b就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来 ba所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足 0bbRF即 。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。1.4 答：质点在直线运动中只有 na而 无，质点的匀速曲线运动中只有 an而 无 ；质点作变速运动时即有 nta又 有 。1.5 答： dtr即反应位矢 r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而 t只表示 r大小的改变。如在极坐标系中，jirdt而rdt。在直线运动中，规定了直线的正方向

4、后， dtr。且 t的正负可表示 tr的指向，二者都可表示质点的运动速度；在曲线运动中 dtr，且 tr也表示不了 dtr的指向，二者完全不同。dtv表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而 tv只是质点运动速度大小的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同， adtvadtn而,v。1.6 答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6 VVV球对人人对地题 1 - 6 图图所示，故人以速度 V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出， （事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度

5、，便于投篮） 。1.7 答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度 a的匀速水平直线运动的合成运动如题 1.7 图所示， OaaVx y题 1 - 7 图yxo是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度 a，其相对运动方程vta21消去 t的轨迹 xavy2如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧， a垂直于 V方向的分量 na在改变着 V的方向，该轨迹上凹。1.8 答：设人发觉干落水时，船已上行 s，上行时船的绝对速度 水船 ，则2 水船 船反向追赶竿的速度 水船 V，设从反船到追上竿共用时间 t，则st60) (水船 又竿与

6、水同速，则60)2tV（水 +=得 min150水1.9 答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。1.10 答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。在曲线运动中初速度的方

7、向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。1.11 答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关

8、，还与曲线形状有关。1.12 答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出 na，有牛顿运动方程nnmaRF便可求出 nR，即为约束力1.13 答：动量 smkgvp.22431动能 NmT82221.14 答： kjikjivrJ 623963231故 smkgJ smkgZ2 2220467.843961.15 答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒

9、是由于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。1.16 答：若 rF,在球坐标系中有 00 eer rFr由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有 0F的关系。在直角坐标系中 kjirFzk,jir rFyx zyx故00 rrrkjikjikjiF FFrzyxFrzyrFxrFrzyx事实上据“ ”算符的性质，上述证明完全可以简写为0rF这表明有心力场是无旋场记保守立场1.17 答平方反比力场中系统的势能 rmkV2，其势能曲线如题图 1.17 图所示，01T23123rrV0ERe0T

10、rmR2minaxr题 1 - 1 7 图由 rVETrVETrVT故 有因知 ,0, 。若 0，其势能曲线对应于近日点 min和远日点 max之间的一段。近日点处rE即为进入轨道需要的初动能若 则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；若 位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的 r质点的运动是无界的，当 r很大时 0rV，还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小由0212Ermkv得 rkrkV22即速度 V的

11、大小就决定了轨道的形状，图中 321,T对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故 r有一极小值 eR，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射 eR其为地球半径。 rVE0为地面上发射时所需的初动能，图示 0321,T分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。 iiT0 .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。1.18 答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，

12、对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。1.19 答：对库仑引力场有0E,r 2V4,2102则 ，若其 中 kzekErkmv ，轨道是双曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧；若0,2rkV则，轨道椭圆 或抛物线 0，卢瑟福公式不适用，仿照课本上的推证方法，在入射速度 rkV20的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正，负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整

13、个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有 n3个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内

14、力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系

15、统的总动量，但碰撞内力很大，使物体发生形变，内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能（分子间的结合能） ，故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。2.7.答：设质心的速度 cv，第 i个质点相对质心的速度 iv，则 iciv，代入质点组动量定理可得 iciiiieii mmdt aF这里用到了质心运动定理vciieaF。故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心的动量守恒常 矢 量ii。当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不

16、受外力影响，这给我们解决问题带来不少方便。值得指出：质点组中任一质点相对质心参考系有 ，对质心参考系动量并不守恒。2.8.答不对.因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒，球抛出后船和人的速度不再是 V。设船和人的质量为 M，球抛出后船和人的速度为 V，则vVmM1vm1球出手时的速度应是 v1。人做的功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动能的改变，故人做的功应为 222121V显然与系统原来的速度无关。2.9.答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来

17、提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。2.10.答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故2.7（2）中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。2.11.答：由zvmvrsrlnln00知，要提高火箭的速度必须提高喷射速度 rv或增大质量比 s。由于燃料的效能，材料的耐温等一系列技术问题的限制， r不能过大；又由于火箭的外壳及各

18、装置的质量 0相当大，质量比也很难提高，故采用多级火箭，一级火箭的燃料燃完后外壳自行脱落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。若各级火箭的喷射速度都为 rv，质量比分别为 nz.,21，各级火箭的工作使整体速度增加 nv,21，则火箭的最后速度 nrnrn zvzz 212121 lll因每一个 z都大于 1，故 可达到相当大的值。但火箭级数越多，整个重量越大，制造技术上会带来困难，再者级越高，质量比越减小，级数很多时，质量比逐渐减小趋近于 1，速度增加很少。故火箭级数不能过多，一般三至四级火箭最为有效。3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要 3 个独立变量，只要确定了不共

19、线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需 3n 个独立变量，有 6 个独立变量就够了. 若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需 3 个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。当物体的大小远小于

20、地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。事实上但物体的线度很大时各质点所在处 g的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。3.3 答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。3.4 答 主矢 F是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢 ir也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的

21、位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。分别取 O和 为简化中心，第 i个力 iF对 O和 的位矢分别为 ir和 i，则 ir= + ，故iiiiO FrFM iiirioM即 o主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设 O和 对质心 C的位矢分别为 Cr和 ，则 Cr= + O，把 点的主矢iF，主矩 oM移到 点得力系对重心的主矩 iCoCFr把 O为简化中心得到的主矢 iF和主矩 oM移到 点可得iCoCriCoOriCoFr简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体

22、的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。3.5 答 不等。如题 3-5 图示，A BlCx4lZdxO题 3 - 5 图dxlm绕 z轴的转动惯量 222432 41387 lmlldxlmIlz这表明平行轴中没有一条是过质心的，则平行轴定理2mdIc是不适应的3.6 不能，如 3-5 题。但平行轴定理修改后可用于不过质心的二平行轴。如题 3-6 图所示，ABClZmAx题 3 - 6 图均质棒上 BA,二点到质心的距离分别为 Ax和 B由平行轴定理得： 2cmIBB则 2BABAxmI，此式即可用于不过质心的二平行轴。如上题用此式即可求得： 222487431m

23、llmlIz 3.7 答 任一瞬时，作平面平行运动的刚体上或与刚体固连且与刚体一起运动的延拓平面总有也仅有一点的瞬时速度为零（转动瞬心）从运动学观点看由（3.7.1）式 0rvvAAr知选此点的基点较好，这样选基点，整个刚体仅绕此点作瞬时转动从（3.7.4）式 2Ardat可知，求加速度时选加速度为零的点为基点较方便，但实际问题中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。从动力学角度考虑，选质心为基点较好，因质心的运动可由质心运动定理解决；而且质点系相对质心的动量矩定理于对固定点的动量矩定理具有相同的形式，亦即刚体绕过质心与平面垂直的轴的转动可用刚体绕定轴转动的定律去解决。因刚体上不同点有不同的速度和加速度，基点选取的不同，则（3.7.1）和（3.7.4）式