1、第六章 利用元素法解决 : 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 定积分的 元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第 六 章 目录 上页 下页 返回 结束 表示为 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间 a , b上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 a , b 具有 可加性 , 即可通过 “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 目录 上页 下页 返回 结束 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变”
2、 求出局部量的 微分表达式 xxfU d)(d 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 U xxfba d)(这种分析方法称为 元素法 (或 微元分析法 ) 元素 的几何形状常取为 : 条 , 带 , 段 , 环 , 扇 , 片 , 壳 等 近似值 精确值 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 四、 旋转体的侧面积 (补充 ) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第 六 章 目录 上页 下页 返回 结束 yb xa)(2 xfy )(1 xfy O一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形
3、设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 xxfA d)(d xxfA ba d)(边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 xxfxfA ba d)()( 21 O xbay )( xfy xx dxx xx d目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解 : 由 得交点 )1,1(,)0,0(xxxA d)(d 231 10AxyOxy 22xy x xx d)1,1(1目录 上页 下页 返回 结束 Oxy 22 4 xy xy例 2. 计算抛物线 xy 22 与直线 的面积 . 解 : 由 得交点 )4,8(,)2,2( )4,8(yyyA d)4(d 221184 xy 所围图形 )2,2( 为简便计算 , 选取 y 作积分变量 , 则有 42Ayyy d目录 上页 下页 返回 结束 ab例 3. 求椭圆 解 : 利用对称性 , xyA dd 所围图形的面积 . 有 a xyA 0 d4利用椭圆的参数方程 )20(s i nc o s ttby tax应用定积分换元法得 20 2 ds i n4 ttbaba4 21 2 ba 当 a = b 时得圆面积公式 x xx d xyO目录 上页 下页 返回 结束 O一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时 , 按 顺时针方向 规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积
