1、2015 年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷（7 月 5 日上午 8：3011：00）三题 号 一 二13 14 15 16合计得 分评卷人复核人考生注意：本试卷共三道大题，16 道小题，满分 150 分一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分）本题共有 6 道小题，每小题给出了（A） 、 （B） 、（C） 、 （D）四个结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后答后面的圆括号内每小题选对得 5 分，不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内） ，一律得 0 分1 设 ，其中 表示不超过 的最大整数，集合 ，241iaxx* xNxa且则 中元素的个数是A（
2、A） （B） （C） （D ）46812答 （ ）2 若 的三边 成等比数列，边 的所对的角依次为 ， Cabc， ， abc， ， ABC， ，且 ，则角 为sinsinos21ABB（A） （B） （C） （D）43223答 （ ）3 已知函数 ，则22()51965196fxx()2(50)ff（A） （B） （C） （D ）604867答 （ ）4 已知数列 是由正整数组成的递增数列，且 ，若na *21nnaaN，则52a7（A） （B ） （C） （D ）1015217答 （ ）5 长方体 中， ， ，则异面直线 与1DCBA1A2DDA1间的距离为1DB（A） （B） （C） （
3、D）2233答 （ ）6 如图， 分别为正六边形 的对角线 的内分点，且MN， ABEFACE，若 三点共线，则 =CAEB， ， （A） （B ） （C） （D） 313212答 （ ）二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分）7 已知复数 在复平面内对应的点在第二象限，且 ，则实数zai()R2|)1(|iz的取值范围是 a8 若实数 满足 ， ，则 b， lg1010blg()ab9 设数列 前 项和为 ，且对任意正整数 都有 ，若nnS5amn， mnna对任意 恒成立，则实数 的最小值为 nSa*N10 立方体 中，点 分别在线段 上（不包括线段的端1DCBAMN， 1AB，点
4、） ，并且 ，则 与 所成角的取值范围是 M1111 一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出此题的概率分别为 ，其中 abc， ，都是小于 的正整数 现甲乙丙同时独立解答此题，若三人中恰有一人解出abc， ， 0此题的概率为 ，则甲乙丙三人都未解出此题的概率为 71512 设 为椭圆 的两个焦点，若 为椭圆一条过点 的弦，且在 中，2F， CAB2F1AB， ， ，则 13A4B15F21tanF三、解答题（本题共 4 道小题，满分 90 分）13 （本小题满分 20 分）设实数 满足 ， b， ， 0b1（）证明： ；lln1ln1a（）证明： ()l()l()lnaabCABDM NF E14
5、 （本小题满分 20 分）如图，直角 外接圆ABC圆心为 , ,过 作 的垂线,垂足为O90C,作圆 分别切弧 、边 、 于D1AD，同样作圆 与弧 、边 、EFG， ， 2相切，设圆 半径为 ,圆 半径为 ,A11r2O2r内切圆半径为 ， 证明: BC115 （本小题满分 25 分）已知数列 中 ，关于 的方程na1x有唯一解21cos210nnxax（）求数列 的通项公式；（）设 ，求证： ；2log(1)nnba3nb（）设 ，求数列 的前 项和 cncS16 （本小题满分 25 分）双曲线 的左右两个焦点分别为 ， 为双2: 145xyC12F， P曲线上一动点，且在第一象限内，已知 的重心为 ，内心为 2PFGI（）问是否存在点 , 使得 ？若能，求出点 ；若不能，请说明理由；P1IG P（）设 为双曲线 的左顶点，直线 过右焦点 与双曲线 交于 两点，Al2CMN，若 的斜率是 ，且 ，求直线 的方程MN， 12k， 1klO2 F EO1GDA OCB
