1、,引例,请判断上述关系具备哪些性质？,自反、对称、传递,自反、反对称、传递,5.5 等价关系基础,5.5 等价关系基础,5.5.2等价关系,Def 对于集合A上的关系R，若R具有自反、对称和传递性，则称R为等价关系。,若(a,b)等价关系R，则称a与b等价，记作ab。,5.5.2等价关系,example,1)在一群人的集合上, 年龄相等的关系是否为等价关系？ 朋友关系是否是等价关系？2)在动物集合上，“具有相同种属”的关系是否为等价关系？3)集合上的对角关系是否是等价关系?4)在同一平面上三角形的相似关系是等价关系？ 直线之间的平行关系是等价关系？,Y,N（传递性）,Y,Y,Y,N（自反，传递
2、）,5.5.2等价关系,More example,5.5.2等价关系,当我们仅关心一个整数被3整除的余数时，我们只需要知道它在哪个分支而不必知道它的特定值。,5.5.2等价关系,这些独立的分支如何描述呢？ 等价类,5.5 等价关系基础,5.5.3等价类,Def 设R是集合A上的等价关系，称与A中元素a有关系的所有元素组成的集合为a的等价类。a的关于R的等价类记作,即xR=y|yAxRy,xR，简记为x.,Eg. 对刚才mod3的等价关系R=, , , 1=1,4,7, 2=2,5,8, 3=3,6, 4=1,4,7,5=2,5,8, 6=6,3, 7=1,4,7, 8=2,5,8.发现什么特点
3、没有？,有等价关系的两元素的等价类相同！,5.5.3等价类,等价类的特征：设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x,y，则 （1）x,且xA; （2）若xRy,则x=y；,1=1,4,7, 2=2,5,8, 3=3,6, 4=1,4,7,5=2,5,8, 6=6,3, 7=1,4,7, 8=2,5,8.,考察集合x|xA?1,4,7,2,5,8,3,6,可看作集合A的一种划分,5.5.4等价类与划分,Def 划分的概念,5.5.4等价类与划分,非空集合A上的划分与等价关系的一一对应,记作A/R,5.5.4等价类与划分,非空集合A上的划分与等价关系的一一对应,R=, , ,5.5.4等价类与划分,有关练习,5.5.4等价类与划分,有关练习,掌握等价关系的相关基本概念和符号熟练判断等价关系，计算等价类，及其与划分之间的一一对应作业,5.5 等价关系基础本节要求,
