模糊数学教学课件.ppt

1、2019年6月25日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2019年6月25日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数学绪论

2、,2019年6月25日,3,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2019年6月25日,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经

3、济、文学、音乐,模糊数学绪论,2019年6月25日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,2019年6月25日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,2019年6月25日,7,3.模糊综合评判从某一事物的

4、多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面给出很好，较好，一般，不好四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,2019年6月25日,8,模糊数学,2019年6月25日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2019年6月25日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其运算,2019年6月25日,11,其中,函数 称为集合A的特征

5、函数。,模糊集合及其运算,非此及彼,2019年6月25日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录，若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录，若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2019年6月25日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2019年6月25日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，过渡点,2019年6

6、月25日,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2019年6月25日,16,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,2019年6月25日,17,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,2019年6月25日,18,例2：考虑年龄集U=0,1

7、00，O=“年老”，O也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,2019年6月25日,19,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,2019年6月25日,20,则模糊集O（年老）,则模糊集Y（年轻）,2019年6月25日,21,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,2019年6月25日,22,例3.,模糊集合及其运算,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,

8、0.1,0.8,0.3,0.5,2019年6月25日,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,2019年6月25日,24,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,2019年6月25日,25,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,2019年6月25日,26,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,2019年6月25日,27,模糊集合及其运算,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄

9、区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,2019年6月25日,28,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27) = 0.78,2019年6月25日,29,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2019年6月25日,30,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,2019年6月25日,31,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2019年6月25日,32,3、其它方法,模糊集合及其运算,2019年6月25日,3

10、3,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如：,2019年6月25日,34,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,2019年6月25日,35,例4：,模糊集合及其运算,2019年6月25日,36,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中 。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,2019年6月25日,37,例5：,模糊集合及其运算,2019年6月25日,38,（3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质：,2019年6月25日,39,（4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为

11、Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2019年6月25日,40,例6：,模糊集合及其运算,2019年6月25日,41, 1，,而 Y(30) = 0.5 2,而 Y(30) = 0.5 = 2 ，,2019年6月25日,104,模糊模式识别,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,2019年6月25日,105,在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的

12、元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,2019年6月25日,106,1. 距离判别分析定义 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基) 距离 (P1)： ) 当 X = x1, x2, , xn 时， ) 当 X = a, b 时，,模糊模式识别,2019年6月25日,107,特别地，p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hammin

13、g (海明) 距离。p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,2019年6月25日,108,(2) 相对 Hamming 距离,模糊模式识别,2019年6月25日,109,(3) 相对 Euclid 距离,模糊模式识别,2019年6月25日,110,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件： 当 X = x1，x2，x

14、n 时，有 当 X = a, b 时，有加权 Minkowski 距离定义为,模糊模式识别,2019年6月25日,111,加权 Hamming 距离定义为加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,2019年6月25日,112,例 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温)，x2 (湿度)，x3 (土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,模糊模式识别,2019年6月25日,113,由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明

15、A，B 环境比较相似，该农作物宜于移植 B 地。,模糊模式识别,设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得,2019年6月25日,114,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。,AB=,定义 设 A，B F (U)，称,为 A 与 B 的内积，称,为 A 与 B 的外积。,2019年6月25日,115,比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成取大 “” 与取小 “” 运算，就得到 AB。,模糊模式识别,若 X =x1

16、, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则,与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积,2019年6月25日,116,例 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6,则,A B,模糊模式识别,2019年6月25日,117,例 设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如图 3.33,模糊模式识别,2019年6月25日,118,由定义知AB 应为 max( AB ) ，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*，令,解得,于是,类似地，

17、由于,故 A B=0。,模糊模式识别,2019年6月25日,119,模糊模式识别,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,或 L( A，B) = ( AB) ( A B)C,2019年6月25日,120,C =,C =,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,2019年6月25日,121,模糊模式识别,2019年6月25日,122,模糊模式识别,2019年6月25日,123,二、择近原则,模糊模式识别,2019年6月25日,124,模糊模式识别,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,B)，,2019年6月2

18、5日,125,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶。,2019年6月25日,126,蠓的分类,下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本.,2019年6月25日,127,2019年6月25日,128,先将已知蠓重新进行分类,2019年6月25日,129,当 = 0.919时,分为3类1, 2, 3, 6, 4,

19、 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类的中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).,A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),2019年6月25日,130,再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为,B1= (0.015, 0.672),B2 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ).,采用贴近度,3 (A, B) =,2019年6月25日,131,

20、计算得：3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92.3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, B3) = 0.83. 根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24, 1.80)属于第三类,即Apf 蠓；第二只待识别的蠓(1.28, 1.84)属于第三类,即Apf 蠓；第三只待识别的蠓(1.40, 2.04)属于第二类,即Af 蠓.,2019年6月25日,132,模糊决策,模

21、糊集中意见决策模糊二元对比决策模糊综合评判决策,2019年6月25日,133,模糊集中意见决策,为了对论域U =u1, u2, , un中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V =v1, v2, , vm,其中vi 是第i 种意见序列,即U 中的元素的某一个排序.若uj在第i 种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=nk,称,2019年6月25日,134,为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是比较合理的.,2019年6月25日,135,例: 设U =a, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人,

22、v1: a, c, d, b, e, f v2: e, b, c, a, f ,dv3: a, b, c, e, d, f v4: c, a, b, d, e, fB(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a, c, b, d, e, f .,2019年6月25日,136,例 设有6名运动员U =u1, u2, u3, u4, u5, u6 参加五项全能比赛, 已知他们每项比赛的成绩下：200m跑 u1, u2,

23、u4, u3, u6, u5；1500m跑 u2, u3, u6, u5, u4, u1；跳远 u1, u2, u4, u3, u5, u6；掷铁饼 u1, u2, u3, u4, u6, u5；掷标枪 u1, u2, u4, u5, u6, u3；,2019年6月25日,137,B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2, u1, u4, u3, u6, u5,2019年6

24、月25日,138,若uj在第i 种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)= ak(n k )，称,为uj的加权Borda数。,2019年6月25日,139,B(u1)=7, B(u2)=5.75, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1, u2, u3, u4, u6, u5,2019年6月25日,140,模糊二元对比决策,择优比较决策法：例：假设要求有1000人在X=红，橙，黄，绿，蓝五种颜色中选优。在颜色论域上定义一个称作“最佳颜色”的模糊集。下表就是一个评价调查表。,2019

25、年6月25日,141,2019年6月25日,142,模糊二元对比决策,设论域X =x1, x2, , xn为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化. 然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求ri满足 rii = 1(便于计算)； 0rij1； 当ij 时,rij + rji = 1. 这样的rij组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,2019年6月25日,143,模糊二元对比决策的方法与步骤, 建立模糊优先关系先两

26、两进行比较，建立模糊优先矩阵R = (rij)nn. 排序方法： 隶属函数法：直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用方法：取小法：A(xi) =rij|1jn, i =1, 2, , n;平均法：A(xi) =(ri1 + ri2 + + rin)/n, i =1, 2, , n.,2019年6月25日,144,- 截矩阵法 即取定阈值,确定优先对象.取定阈值0,1得-截矩阵R = (rij() )nn,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.下确界法 先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,