微分中值定理11年毕业论文.doc

1、本 科 生 毕 业 论 文微分中值定理推广及其应用院 系： 数学与应用数学系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 071 学 号： 指导教师： 职称（或学位）： 2011 年 5 月原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学生签名： 年 月 日指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目

2、标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。指导教师签名： 年 月 日目 录1 引言 .22 中值定理的内容及联系 .22.1 基本内容 .22.2 三个中值定理之间的关系 .23 定理的推广 .34 定理的应用 .54.1 利用定理证明方程根（零点）的存在性 .54.2 用定理求极限 .74.3 证明不等式 .84.4 定理推广的应用 .105 结论 .116 致谢 .111微分中值定理推广及其应用摘要：本文首先介绍了微分中值定理之间的内在联系，以及它们的推广；接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根

3、（零点）的存在性” ,“ 求极限”和“证明不等式”等方面的应用。关键词：微分中值定理；联系；推广；应用Abstract: This paper describes the intrinsic link between the differential mean value theorem, and their promotion; then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit

4、 and proof of in equality.Keywords: Differential mean value theorem; Contact; Promotion; Application21 引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础

5、。微分中值定理是一系列中值定理总称，但 本 文 主 要 是 以 拉 格 朗 日 定 理 、 罗 尔 定 理 和柯 西 定 理 三 个 定 理 之 间 的 关 系 1-3以 及 它 们 的 推 广 为 研 究 对 象 ， 利 用 它 们 来 讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。2 中值定理的内容及联系2.1 基本内容 45对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauch

6、y）定理” 。这三个定理的具体内容如下：1) Rolle 定理 若 在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ， 且 ， 则 至 少 存 在 一 点fx,ab,abfafb， 使 。,0f2) Lagrange 定理 若 在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ， 则 至 少 存 在 一 点 ， 使fx,ab,ab,ab=3) Cauchy 定理设 ， 在 上 连 续 ，在 内 可 导 ，且 ，则至 少 存 在 一 点fxg,ab,ab0gx， 使 得,ab。ffgba2.2 三个中值定理之间的关系现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的3关系。那它们之间具体有什么样的关

7、系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的 这 一 条 件 给 去 掉 的 话 ， 那 么 定理就 会fafb变 成 为 拉 格 朗 日 定 理 。 相 反 ， 如 果 在 拉 格 朗 日 定 理 中 添 加 这 一 条 件 的 话 ，fafb显 然 就 该 定 理 就 会 成 为 了 罗 尔 定 理 。 通 过 这 一 发 现 ， 可 以 得 到 这 样 的 一 个 结 论 ： 拉 格朗 日 定 理 是 罗 尔 定 理 的 推 广 ， 而 罗 尔 定 理 是 拉 格 朗 日

8、定 理 的 收 缩 ， 或 是 它 的 特 例 。 继续 用 这 一 思 路 来 看 拉 格 朗 日 定 理 和 柯 西 定 理 ， 看 看 这 两 者 之 间 又 是 如 何 的 联 系 ？ 我们 先 对 柯 西 定 理 进 行 观 察 ， 从 观 察 中 会 是 我 们 作 出 这 样 的 假 设 ， 如 果 令 定 理 中 的的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， gx拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗

9、尔 定理是这一块内容的基石，而拉 格 朗 日 定理则是这一块内容的核心，那么柯 西 定理是这一块内容的推广应用。如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于 轴相交的夹角不为直角；那么像x这一类曲线具有共同的属性曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行” 。3 定理的推广 67前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数 在 上是连续，在 内是可导。那么我们如fx,ab,ab果把定

10、理中的闭区间 ，把它推广到无限区间 或 ，再把开区间,ab,推广到无限区间 或 的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我,ab,们能得出哪些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。定理 1 若 在 上 连 续 ，在 内 可 导 ，且 ，则至fx,a,alimxfa4少 存 在 一 点 ， 使 成 立 。,a0f证 明 ：令 ， 则 ， 即 可 得 到 关 于 参 数 函 数1tx1xtt1ta当 时 ， 则,a0,即 ， ， 再 令10limtfxtg0lili1ttxgfaft

11、1在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ， 且 ， 由 Rolle 定 理 可 得 到 gt0,0,101g， 使 成 立至 少 存 在 一 点 g令 ， 有 ， 而 .f2， 使 成 立至 少 存 在 一 点 ,a0f证 毕定 理 2 若 在 上 连 续 ，在 内 可 导 ，并且 ，至fx,limlixxff少 存 在 一 点 ， 使 成 立 。,0f定 理 2 的 证 明 可 以 参 照 定 理 1。定 理 3 若 在 上 连 续 ，在 内 可 导 ，并且 ，则至少存在fx,a,alixfM一点 ， 使,成 立 。21Mffa证 明 ： 设 ， 则 ， 即 可 得 到 关 于 参 数 函 数

12、1txaxt t1ta当 时 ， 则,0,即 ， ， 再 令10limtfxtg500limlilittxgfMt在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ， 由 Lagrange 定 理 得 ,1,1， 使 成 立至 少 存 在 一 点 0,0g即 gfaM令 ， 有 ， 而 ，f221a， 使至 少 存 在 一 点 ,成 立 .21faf证 毕4 定理的应用通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。4.1 利用定理证明方程根（零点）的存在性

13、例 1 若 在 上连续，在 内可导 ，证明在 内方程fx,ab,ab0,ab。22xfbaf至 少 存 在 一 根分析：由于题目是要求方程 是否有根存在，所以可以先2xffx对方程进行变形，把方程变为 。那么方程20ba有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有2xfbabfx存在，所以可以利用不定积分把方程 ，转变为 2fbafx。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道220fxfx在区间 上连续，在区间 内可导 ，由函数的连续性和求导的概念，x,ab,ab0可以得到函数 在 上连续,在 内可导 ，22fxfxab,ab06那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明:令 ，2

14、2Fxfbaxbfx显然 在 上连续,在 内可导，,而 .2affF根据 Rolle 定理, 至 少 存 在 一 点 ，使 .22fbafx证毕本文主要在于辅助函数 的构造，我们从结论22Ffbabfx出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到 ，所以选在利用罗尔定理F证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：例 2 设 在 ，在 ，证明：在 内存在一点fx,ab上 连 续 ,ab可 导 0ab,ab，使 成立。bffff分析：对于等式 ，则

15、可以两边同除以 ，即bafba等式左端为 ，这个商式可看为函数 在 上的改变量与自变量的改变fx,ab量之商，则会考虑利用 Lagrange 定理，那么可构造辅助函数 。Fxf证明: ，则 在 ，在 ，FxfFx,ab上 连 续 ,ab可 导由 Lagrange 定理，存在一点 ，使 ，,a即 ，bfaffx即 baff证毕7例 3 设 在 ，在 ，证明:在 内存在一点 ，fx,ab上 连 续 ,ab可 导 0ab,ab使 成立。lnfbf分析:等式 两边同除以 ，即该等式的左端为lbfaflnlba，这个商式可看为函数 与 在闭区间 上的改变量之商，则我们会想lnfbxl,到利用柯西定理来证

16、明，那么构造辅助函数 。lgx证明：令 ，对 ， 在 上运用 Cauchy 定理，lngxfx,ab得 ，1lfba即 ，ffgbga即 .lnff证毕4.2 用定理求极限在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。例 1 求 ，其中 。12limna0a分析：由于题目中有 和 ，则可以试着构造辅助函数 ，那么就可以得到1n xfa在 连续，在 可导，即可以利用 Lagrange 定理解题了。fx,1n,解：根据题意，由 Lagrangge 定理，有12limna2linx1na