1、1 / 7实数完备性基本定理等价性的证明摘要 本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明.关键词 实数完备性基本定理 等价性 循环证明1 引在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍.定义 设闭区间列 具有如下性质：nba,（i） , ;1,n ,21n（ii） =0,lim则称 为闭区间套，或简称区间套.nba,确界原理 设 S 为非空数集 .若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界 .单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.区间套定理 若 是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点 nba,，使得 即21,n.,21,nbn推论
2、若 是区间套 所确定的点，则对任给的,banna, 0，存在 N 0，使得当 nN 时有.;,nba有限覆盖定理 设 H 为闭区间 的一个（无限）开覆盖，则从 H 中可,选出有限个开区间来覆盖 .,聚点定理 实数轴上任一有限无界点集 S 至少有一个聚点.柯西收敛准则 数列 收敛的充要条件是：对任给的 0 ，存在正整数naN，使得当 n,mN 时有 .nb2 / 72 六大基本定理等价性的证明本节就是对六大基本定理等价性的证明.首先列出证明过程的基本框架：确界原理 单调有界定理 区间套定理柯西收敛准则 聚点定理 有限覆盖定理下面就是这个循环证明的过程.1 由确界原理证明单调有界定理证 不妨设 为
3、 有上界的递增数列. 由确界原理，数列 有上确界.记na naa=sup . 下面证明 a 就是 的极限 . 事实上，任给 0 ，按上确界的n n 定义，存在数列 中某一项 ，使得 a- . 又由 的递增性，当nNNann N 时有a- 0 ，使得A .M,假设 中任意点都不是 A 的聚点，则对任意一点 x , 必存M, M在相应的 0 使得在 中至多有 A 的有限个点. 记 x,x，则 H 为 A 的一个开覆盖 .H,由有限覆盖定理，在 H 中可以找到有限个开区间覆盖 . 记为,，从而更能覆盖 A . ,21, iMxii因 内至多含有 A 中有限个点，从而 A 为有限点集，与假设 “ A
4、是有H界无限点集” 矛盾 . 故区间 中至少有一个集合 A 的聚点，即集合 A ,至少有一个聚点.5 由聚点定理证明柯西收敛准则证 先证条件的必要性：设 ，则对任意给定的 0, 有一正整数 N ，当 k.N 时，有axn5 / 72axk从而当 m, nN 时，有mnmnx其次，证明条件的充分性：设数列 满足条件：对任给正数 ，总存在某一个自然数 N ，使得当nam, nN 时，都有.nma取 ，则存在自然数 ，当 n 时，有11N1,1Nn从而,1Nna令 M=max ,1211Naa则对一切 有 ,n,Mn即 有界.na下证 有收敛子列 .若 E= 是有限集，则 必有一常子列；若 E 为无
5、限集，则由,21n na聚点定理， E 有一个聚点 A. 由聚点定义可证，存在 ，使 . knaAaknlim总之， 有收敛子列 .设 ，则对任给正数 ，存在 N ，当 k, naAknlimm, nN 时，有,2mna.Ak所以当 nN（任取 kN ，使 ）时，有6 / 7.2AaAakknnn故 .lim6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证 设 S 为原理非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性，对任何正数 ，存在整数 ，使得 为 S 的上界，而 不是 S 的上界，kk1k即存在 S ，使得.1k分别取 , 则对每一个正整数 n ，存在相应的 ，使得2,1n n为 S 的上界，而 不是 S
6、 的上界，故存在 ，使得nSa. (5)n1又对正整数 m, 是 S 的上界，故有 结合（5）式得 ；mmnmn1同理有 . 从而得n1.nnm1,ax于是，对任给的 ，存在 N0 ，使得当 m ,n N 时有0.nm由柯西收敛准则,数列 收敛 .记n(6).lin现在证明 就是 S 的上确界 .首先,对任何 a S 和正整数 n 有 a ,由(6)n式得 a ,即 是的 S 一个上界 .其次, 对任何 0 ,由 及(6) 式, 01对充分大的 n 同时有.2,1n又因 不是 S 的上界 , 故存在 , 使得 . 结合上式得n1Sa na1.7 / 7这说明 为 S 的上确界 .同理可证：若
7、S 为非空有下界数集 ,则必存在下确界 .参考文献1 华东师范大学数学系 编 数学分析 高等教育出版社 2001 年 6 月第 3 版 35P1682 复旦大学数学系 陈传璋等 编 数学分析 高等教育出版社 1983年 7 月第 2 版3 杨熙鹏 邵子逊 刘颖植 主编 数学分析习题解析 陕西师范大学出版社4 钱吉林等 主编 数学分析题解精粹 崇文书局 2003 年 8 月第 1 版The Proof on the Equivalent Relations in the Foundamental Theorems of Completeness of Real NumbersAbstract In this paper , we prove to the equivalent relations in the foundamental theorems of the completeness of real numbers by cyclic proof .Key words completeness of real numbers foundamental theorem equivalent relation cyclic proof
