数学学年论文毕业论文重积分的计算方法.doc

1、1重积分的计算方法摘要：本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时介绍了一类特殊的二重积分的计算方法，并由二重积分的计算方法推广到三重积分的计算。关键词：二重积分，三重积分，变量代换，对称法引言：重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数 推广为二元函数 （三元函数 ）;积分范围由数轴上的区xf yxf,zyxf,域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分） 。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是

2、有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一 二重积分的计算1常用方法（1） 化累次积分计算法对于常用方法我们先看一个例子（北京师范大学，2002 年） 1例 1 计算二重积分 ，其中 为区域Ddxy2D20,yx解：如图 1 所示 可分为 21在内 ，在 内 1D2xy2D2xy34222 210122 xxD dydyd dy2对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积

3、分区域 的草图；D第二步：按区域 和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来” ，而对另一种次序却“积不出来” 。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。例 2 计算 ， 是由 围成的区域Ddxysin1,0xy解：先画出区域 的图形，如图 2D先对 后对 积分，则由 知yxxy0

4、1: 1cossinsisinsin 101010 xdddxD如果先对 后对 积分，由于 不能用初等函数表示，这时重积分xyxi“积不出来” 。更换积分次序的理论依据是什么呢？对于给定一个二重积分 ，若分别把它化为积分次序不同的二次Ddyxf,3积分而得下列等式： xbaDdyfdyxf21,ydcDfyxf21,则显然有 ydcxba dxff2121 ,如果首先给出式中的一个二次积分（例如左端） ，而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出式中的另一个二次积分（例如右端） ，这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。例 3试更换 的积分次序210,xdyf解：把先对 积分更换为先对

5、 积分y由原累次积分的上、下限可得，即210:1bxaxxD210xy由 的联立双边不等式可画出域 的图形，如图 3D再由图形写出先对 的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于 轴的箭x x头穿区域 ，知先对 后对 积分必须将 分为 和 ，其中y1D2， 如图 4210:1yxD10:yx则 12002120 , yyx dxfdxfdyfI对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：.由原累次积分的上、下限列出表示积分域 的联立双边不等式，例如DbxayD21:4.根据上列联立双边不等式画出区域 的图形D.按新的累次积分次序，列出与之相应的区域 的联立双边不等式yxydcD21:.按 3 中的

6、不等式组写出新的累次积分的表达式。关于这方面的应用我们再看一个例子。例 4 （华中理工大学,2000 年）设 在 上连续，证明xf,bababax dfxdyf证：改变积分顺序得： bababyaxab dxfdyfff（2） 变量替换法在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。例 4 （湖北大学 2002 年，中南矿治学院

7、）求 ，其中Dyxde0,1|, yxyxD解：令 ，即uuv则 变成了D1,01|, vyx121001 ededuduvexyevDD5可以说变量替换法步骤如下：i. 若可微分的连续函数 把 上的有限区域 单vuyx,oxD值唯一地映射平面 上的域 及雅哥比式 则下之ouvD0,vuyI公式正确 DD dxvuyxfdyxf ,ii. 设广义极坐标变换 将 平面上的有界闭区域 一sincobraD一地变成 平面上有界闭区域 ， 在 上连续，则ryxf,特别，当DooD abrdarxfdyxf cs,cs,时，公式变为：1,0,bo极坐标变换公式DDrdrfyxf sin,c计算二重积分时

8、，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形、扇形或者环形可以选用极坐标系。关于这方面的应用我们看下面的例子：例 5将连续函数 在两圆 和 之间的环形区域yxf, 12yx42yx上之二重积分化为二次积分。D解：先画出域 的图形，如图 5D若用直角坐标，则需将 分为四个区域： 4321,如图 5 所示，所以，在 上的积分dyxfdyxfdyxfdyxfd ffffyf DDDDD 2222 431 4211441412 , ,6若用极坐标，有 210sin,co, rdrfdxyfD 显然，极坐标系

9、下运算比较方便。（3） 对称法对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。在做题时，先考虑区域和被积函数有无对称性，有时一看就知道积分为零，有时可使积分化简。否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失” ，而且往往是“有失无得” 。利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为： 设域 关于 轴对称， 轴上方部分为 ，下方为 ，当把 中的Dxx1D2yxf,看作常数时，若 是 的奇函数，则 。当把xyf, 0,dyxf中的 看作常数时，若 是 的偶函数，则yf,xyxf,1,2DDdfd 设域 关于 轴对称， 轴右边的部分为 ,左边的部分为 ，当把yy1D2中的 看作常数时

10、，若 是 的奇函数，则 ；xf, yxf, 0,Ddxyf当把 中的 看作常数时，若 是 的偶函数，则yf, f,x1,2DDdxyfdx我们只对第一个结论的前一部分做个简单的证明：例 6计算重积分 ，其中 为两种形式： 是yxfffD, D1由 所构成； 是关于 轴对称的平面凸域，其边界为1,0yxx和 2和 ，如图 6xgyx解：7 10 10110110 ,|,1 dxxFxdxyFdyxfdxyfD其中利用了当 时，fyF,1，又xFxxdxf x 1,1,|,11 yxff,0111 FyF 0, 212 dxxgxgdyxfdxf babagbaD再看一个例子例 7 （武汉大学，1

11、992 年）计算下列积分（1） ，其中 为常数，10lndxabb；（2） ，其中 为直线 与曲线 围成的有界区域。ba0Dydxe2 y31y解：（1） bababayybaybayab abdyxdxdxdxdx 1ln1|1|ln1l 0101000（2）由对称性及被积函数为关于 的偶函数 edtytdeydxeydxedxyeDyD 222 10102310 222122 （4） 特例当积分区域是一矩形，被积函数可以分离成只含 的函数和只含 的函数相乘xy时二重积分可作两个定积分相乘，即 badcdcbadycbxa dfygyxfxygf根据这一性质 ，其中 这是一个比Dba xff

12、2 baD,较特殊的例子，也是重积分与单积分的互换。例 8 （武汉大学，1995 年）设 在 上连续，证明：xf1,08，其中 为以 为顶点的三角2101dxfdxyffD D0,1,0BA区域。证： 1010101010210 yxdxyfdfxfyxdfxfdxf如图示 Dyx10|, DD dxyfdyfxdxf1210令 ，即 ，则 10,vuxvyu1变成vu01|, uvD duvfdyf011注意到二重积分的值与积分变量的记号无关， DxyD dxyfdxyfdfx110210ffD二 三重积分三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广，它的计算也是化为累次积分，适当地选择变量

13、代换可使三重积分容易计算。与前面二重积分情况相同，三重积分也可以应用对称法计算，即一般地，若区域 关于 z 平面对称，Dy被积函数关于 是奇函数，则三重积分必为零，类似地还可推出其它各种对称x情况的三重积分。9计算三重积分的一般步骤为：1画出空间域 的草图；D2根据被积函数和积分域 选择适当的坐标和累次积分的次序，并将域 用D相应的双边不等式组表示；3完成累次积分的计算。这里，画好图形是计算的关键，因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的，于是也就顺利地写出了积分限。其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限，球坐标中定限化为平面极坐标系的定限。可以说，三重积分的计算方法可由二重积分推广过

14、来，不再累述。我们有一般的，在不同坐标中域 的表达式和相应的积分表达式引用下 表D2表示：坐标系区域 D计算公式直角坐标系bxayyz,:21xyxba dzfdI2121,柱坐标系21,:rzD 2121, ,sin,cor rdzfdI球坐标系21,:rD 2121, 2sinco,sin,cosir drrfdI选择在哪种坐标系下计算三重积分，要以被积函数和积分域 的情况这两个方D面全面考虑，若仅从积分域的角度考虑，三种坐标系下的情况分别为：10坐标系积分区域体积元素 dV变量替换 积分表达式直角坐标系长方体、四面体或任意体dxyz Ddxyzf,柱坐标系柱形区域dzrzryrx,sin,coDdzrrf ,sin,co球坐标系球形区域drsin2 cos,sin,cosinrzryrx D2drsinrcosirncorsif 三 结语综上所述，重积分的计算的方法是有规律可循的。总体上，重积分的主要计算思路是先化重积分为累次积分，难点是积分区域的分块、积分上下限的确定、积分次序的互换以及利用变量代换是重积分简化。参考文献：1钱吉林等主编.数学分析解题精粹M，第 2 版，武汉：崇文书局，2003 年 8 月：P486-P498，P508