数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法.doc

1、 阜阳师范学院信息工程学院Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan本 科 毕 业 论 文题 目: 数学分析中求极限的几种常用方法 学 生: 方 常 学 号： 201002010312 学 院： 阜阳师范学院信息工程学院 专 业： 数学与应用数学 入学时间: 2010 年 09 月 13 日指导教师： 王海坤 职称: 教授 完成日期： 2014 年 4 月 20 日诚信承诺书我谨在此承诺:本人所写的毕业论文数学分析中求极限的几种常用方法均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。承诺人（签

2、名） 年 月 日目录摘要、关键字 （1）1 引言 （1）2 极限的求法 （1）2.1 利用两个准则求极限（1）2.2 利用导数的定义求极限（2）2.3 利用两个重要极限公式求极限（3）2.4 利用函数的连续性求极限（3）2.5 利用等价无穷小量代换求极限（4）2.6 利用泰勒展开式求极限（4）2.7 利用洛必达法则求极限（5）2.8 利用定积分求极限 （6）3 结束语 （6）参考文献 （7）1数学分析中求极限的几种常用方法姓名：方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其

3、重要。对于一些简单的极限，直接用定义和相关的公式就可以求解，但是对于一些复杂的极限，直接按极限的定义来求就显得非常局限，不仅难以计算，而且最后也容易算错。为了能够更好地解决极限的求解问题，本文介绍了几种常用求极限的方法，并且每种方法后面都附以实例来说明方法中蕴涵的数学思想。关键词：夹逼准则 单调有界准则 无穷小量的性质 洛必达法则 定积分 泰勒展开式 1. 引言极限是数学分析中极其重要的概念，计算极限的方法有很多种，但是在实际应用中很难把握，本文试对数学分析中极限的几种重要求法作以总结，本文中介绍了 8类典型极限问题的解法，介绍每种类型时，先把该种类型所要用到的知识点简单介绍，接着附以例题和解

4、答，以便及时掌握和熟练应用。本文共有 10道例题，希望能有一定的参考价值，同时也以期对极限问题有一个较为清晰的认识。2.极限的求法2.1 利用两个准则求极限2.1.1 函数极限的迫敛性（夹逼法则）.若一正整数 N,当 nN时，有 nxynz且则有 . ,limliazxnnaynxli例 1：求极限 的值，其中lin 1352146nn 解: 132542121nn 由此可知： 35046nx 2而 ， ，所以由迫敛性知：1lim02nlin lim0nx2.1.2 单调有界准则.单调有界数列必有极限，而且极限唯一.例2：设 。则 nx的极限是否存在, 若存在求此nxxn,216,19极限。解

5、: 由 及 知 12。152设 kx， 则 2116kkk xxx所以对一切自然数 , 都有 ，nn即数列 单调下降, 由已知易见 即有下界。nx .),(0x则由上述准则知： 的极限存在。nx令 对 两边取极限，Bxnlim61有 所以有 解得 ,或 。6023B2因为 ，所以 ，舍去 ,故,0xn 3limnx2.2 利用导数的定义求极限我们知道，函数 在点 处的导数为 ，利用这一点我yfx0x00lixfx们可以某些极限。例 3：求 的极限xctgx2lim2解：原式=212lim2lim12li12 fxfxtgxtgxx32.3 利用两个重要极限公式求极限1sinlm)(0xAexB

6、x)1(lim)它们的变形为：sil0xxexx1li例 4：求 ax1lim)(0baxcoslni)2(0)1ln( l) ,1 uaxuux 于 是则） 令解 ： （ auuaauxauln)1l(im)1ln(i)1ln(imli0 000 故 有 ： 时 ，又 当（2）原式 )(cosli0bxx 1cos1cos)(lni0 xbbxax1coslim0axbx 222020 )()(sin)(ilmsinli abxbaxx 2.4 利用函数的连续性求极限对于某些连续函数，可利用其连续性求解。例 5： 求 )1ln(5coslim)1(20xexxx)1ln(im20解：（1）由

7、题意知：函数 在 处连续，故有：)1ln(5cosli20efxx460)1ln(5coslim20 fxexx（2）由 ，故可令 ，因此有：)(x1ln1lin1lilni 000 exxx2.5 利用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e；bb121cos例 6： 1) 2) nn1cos3lim22201cosliminxxe3) 0artlisixx1) 解：由于 ，故原式=13n 2 224211coslimlimnn2） 解：当 时， ，故原式=0x xex1,2cos1 201lisinx3） 解：当 时， ，故原

8、式=sinlartnm2.6 利用泰勒展开式求极限常用泰勒公式有：(1) )(!21nx xoe(2) )()!12()!53sin 2nnxox5(3) )()!21(!421cos 12nnxoxx(4) ()ln( 1nn(5) )(!)1)!2)1 nxoxx (6) ( no(7) )112xx例 7：求极限 .30sicslmnx解：由于上式极限中 ，并且又由泰勒展式有i(0)x，3 3sin0(),cos!2!x于是 ，3331i 0()0()0()!xxx故原式=2331!2lim30xox2.7 利用洛必达法则求极限对于 型和 型的极限往往要用洛必达法则求，对于其它类型的极限

9、往往也能化0为这两种类型，在做题目时要留心观察。例 8：求极限 220 )sinl(coslnimxx解：这种情况属于 型的，故由洛必达法则有220 )sin1l(coslnixxxx2sincosili2025si1nlim20 xx6例 9：求 xlnim解：这种情况属于 型的，故由洛必达法则有：原式= 01limlnixx2.8 利用定积分求极限对于通项中含有 n!的数列极限，我们往往把它转化为定积分来求。例 10：求极限： .211limJnn解：我们可作作如下变形：niJni1l不难看出，其中的和式是函数 在区间 上的一个积分和（这里所取得xf1,0是等分分割， ） 。所以ninin

10、xii ,2,1,1.l|l1010xdJ当然，也可把 看作 在 上的定积分，同样有f2,.ln1321LxJ3.结束语综上所述，求极限有很多种方法，所以要求我们在求极限问题时，要根据题目的特点，选择适当的方法，这样不但能节省许多时间，而且也能提高做题的准确率。本文所列举的 8种题型都是非常典型的，虽然还没有总结完全，但是有一定的参考价值。同时我们需要继续努力，总结极限的求解方法。7参考文献1华东师范大学数学系编.数学分析M.北京:高等教育出版社，2001：42-64.2复旦大学数学系编.数学分析M.北京:高等教育出版社，1985：35-48.3钱吉林.数学分析题解精粹M.湖北:长江出版集团，

11、2003：17-111.4裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，1993：88-102.5陈纪修,於崇华.数学分析M.北京：高等教育出版社，1999（2004 重印）：90-114.6蔡子华.数学复习大全M.上海:现代出版社,2005：30-75.7冯丽珠，变形法求极限的变法技巧N.武汉职业技术学院学报，2003-3-4(35-36).8李小光，求极限的若干技巧N.西安航空技术高等专科学校学报，2002-3-12(20-21).9程其蘘，实变函数与泛函分析基础M.北京：高等教育出版社，1983：102-11010宋蔡健，胡进.用积分法求解某一类特殊的和式极限N.南京工业职

12、业学院学报.2003-5-9(85-87).Limit in the mathematical analysis of several commonly used methodsName: Fangchang Student Number: 201002010312 Advisor: Wang HaikunAbstract: Limit thought is one of the important concepts in many fields of science, applied in mathematical analysis is the most widely. Because o

13、f limit importance, thus how to solve the limit also appears especially important. For some simple limit, the direct use of definition and relevant equations can be solved, but for some complex limit, defers to the limit the definition to ask appears directly limits, not only it is difficult to calc

14、ulate, and finally can easily be wrong. In order to solve asks the limit the question, this article also introduced computation limit several methods, and by the example explained in the method contains mathematics thought.Keywords: squeeze norm, monotone bounded norm, properties of the infinitesimal, Hospitals Rule, definite integral, Taylor expansion.