2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛.DOC

1、第 1页，共 4页 2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题 车灯线光源的优化设计 参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 一 . 假设和简化 (略 ) 二 . 模型的建立 建立坐标系如下图，记线光源长度为 l ，功率为 W， B,C 点的光强度分别为 )(lhB W和)(lhC W， 先求 )(lhB 和 )(lhC 的表达式，再建立整个问题的数学模型 . 以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为 60 22 yxz ，焦点坐标为（ 0,0,15）。 1) 位于点 P(0,w,15)的单位能量的点光源反射

2、到点 C(0, 2600, 25015)的能量 设反射点的坐标为 Q )60,( 22 yxyx .记入射向量为 a ,该点反射面外法线方向为 b ,不难得到反射向量 c 满足 .22 bbbaac 记 222 yxr ,由 )1,30/,30/(),1560,( 2yxbrwyxa 从而得 ),( zyx cccc 的表达式 )9 0 0(608 1 0 0 0 03 6 0 01 8 0 09 0 0)9 0 02(9 0 022242222rwyrrcrrywcrxywczyx注意到反射光通过 C 点 ,应有 60/25015,2600,2rkcykcxkczyx 其中 k 为常数 .

3、从上述第一式可解 得 0x 或wyrk 2 9002 .由此得反射点坐标满足以下两组方程 : P Q b A C B 0 c a z y x 第 2页，共 4页 223459 0 05 2 0 0)2 6 0 0(133 7 5 0.02 1 0 6 0 0 0 0 0 01 3 5 0 8 1 0 0 0 0)8 1 0 0 0 09 3 6 0 0 0 0()4 6 8 0 0 0 01 4 9 8 2 0 0(1 8 0 0)2 6 0 0(0yyxwwywywywyywyx通过计算可知 ,存在 56.10 Cw ,当 Cww 0 时第一组方程不存在满足 22 36r 的实根 ,即无反射

4、点 . 而当 Cww 0 时 ,有两个反射点 2,1),60/,0( 2 iyyQ iii . 而第二组方程仅当 5 6 0 9.18 1 1 9.3 w 时存在满足 22 36r 的一对实根 ,即有两个反射点 ),60,( 22 yxyx 记为 43,QQ . 若反射点的坐标为 ),( zyxQ ,则位于点 )15,0( wP 的单位能量点光源经 Q 点反射到 C点的能量密度 (单位面积的能量 , 正比于光强度 )为 24cosPQL 其中 2222 )1560/()( rwyxPQ 而 为反射向量与 z 轴的夹角 , .60/2 5 0 1 5c o s 2QC r2) )(),( lhl

5、h CB 的表达式 长 l 的具有单位能量的线光源位于点 )15,0( wP 的长 dw 的微小线光源段反射到 C 点的能量密度为 ,/)()( 41 lwfwE i i其中 4,3,5 6 0 9.1,8 1 1 9.3,05 6 0 9.1,8 1 1 9.3,4c o s)(2,1,30,0,2/,4c o s)(20002iwwPQwfiwwwlwPQwfiiiCCiii长 l 的具有单位能量的线光源反射到 C 点的能量密度为 .)()( 2/2/ llCdwwElh 类似可得 )(lhB 的表达式 .相应的反射点方程为 第 3页，共 4页 223459002 6 0 0)1 3 0

6、0(137 5 0 0.01 0 5 3 0 0 0 0 0 01 3 5 0 8 1 0 0 0 0)8 1 0 0 0 04 6 8 0 0 0 0()2 3 4 0 0 0 01 4 9 8 2 0 0(1 8 0 0)1 3 0 0(0yyxwwywywywyywyx相应的 ,78.00 Bw 而第二组方程的有两个反射点的范围为 .7 8 0 0 0 0 5.0,9 0 6.1 w 3） 优化设计的数学模型 设线光源的功率为 W, 则它反射到 B点和 C 点的能量密度分别为 WlhB )( 和 WlhC )( .问题的数学模型为 : 1)(2)(.m in00WlhWlhtsWCBll

7、 三 . 模型的求解 )(),( lhlh CB 可以用数值积分求得 . )(lhB 应具备下列性质： 00,20,0)(llllllwlllhBBBBBB 其中 Bl 为起亮值， Bl 为最大值点， 0l 为考察的最大范围，例如取为 20mm。 )(lhC 也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移 .数值求解 )(2)( lhlh CB ,记其解为 *ll ,再求出 ,CBll ,不难看出 CB ll 且 *l 落在 ),( CBll 之中。 令 )(/2)(/1 * lhlhw BC 现证 *w 为问题之最优 值。事实上，对可行域中任一 ),( wl ， 当 ,*ll 有 ,)(/2

8、)(/2 * wlhHlhHw BB （用到 *ll 时 Bh ）。 当 *ll ，有 * )(/)(/ wlhHlhHw CC ，（用到 *ll 时 ch ）。 这就证明了 *w 的确是最小值。 事实上数值结果为 62.3,22.6,16.3 * lll CB . 四 . 反射光亮区的计算 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示 (横坐标为 x 轴，纵坐标 为 y

9、 轴，单位为 mm),下半部分与上半部分是关于 x 轴对称的 . 第 4页，共 4页 五 . 注记 (1) 计算 )( ),( lhlh CB 的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决 .具体的做法是 : 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后 , 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏 B(或 C)点附近取一微小面元 .计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来 ,除以面元的面积即为 B(或 C)点的反射能量密度 . 但用这样的方法必须十分注意结果的检验 ,注意计算精度 (必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏 B(或 C)点附近小面元的取法等 ). (2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。