《数学分析》中极限问题及浅析.doc

1、齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 1 -数学分析中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技

2、巧。一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理 1求极限，这是一种简单而常用的方法。例 1、证明 （1） (a 0)（2）证明： （1）当 a = 1 时，等式显然成立。当 a 1 时， 令 则：a = (1 + hn )n = 1 + nhn + 故 0 0) nhh2)1(a由迫敛性定理limlim limlimnnlim na1limna= 1齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 2 -（2） 设n = (1 + hn)n = 1 + nhn +由迫敛性定理得 hn = 0从而： 例：求极限 即： en 由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定

3、极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式 2，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。nn其中 hn 0 则2nnh)1(2(n即： 0 0, xn(n=1、2、)为由以下各式：x0 0, 所确定的数列，求证 证：由假设 x0 0, 又由算术平均数和几何平均数之间的关系得：由单调有界原理，则： 将从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递0aasin2对 满 足 等 式有 唯 一 解0sin2xa从而 lim2n时 ， 同 理 可 得)0,(0limnx(

4、1na(n =0、1、2，)limaxnaxannn )(21又 1)(2nnx（n=1、 2、）1即 ：（n=1、 2、）limnx取 极 限 得 ：)(21nnxax).(a从 而 ：limnxn齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 5 -推关系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。（三）柯西收敛准则求极限下面举例说明柯西收敛准则 4的应用。证明数列 xn 是收敛的。证明：可归纳得到：对任意的 m n ,故： xn 是柯西数列，从而它是收敛的。例：判断数 列解：设 m n,这时：10 m-n = 10n+1 2(N+1)nx112例 ： 设 1于 是令 ：

5、.1nxbn20（n = 1 、2 ）b（n = 1 、2 ）n故 ： )(1)(mniiixx有 02)21(11 nnmninm bb )(的 敛 散 性 。nlg1lg1a32n mnmnanlg10lg1)(lg1)lg(1 )(2,2 000 NN取 ：对 任 意 的 自 然 数对 1)(2lg)1(la-nm所 以 ：齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 6 -222n )1()(1)(limnn解 ： 原 式 i1420dxeBnnBnn 4lim)()(1求 证 ：例 ： 设 )1()21(limlinn 证 明 ：由柯西收敛准则，知数列 an 发散。柯西收敛准则在证

6、明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。 柯西收敛准则否定形式： 有正整数 mN, nN存在，尽管 mN, nN N , （四） 定积分求极限 由于定积分 5是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。 ,0对 任 意 正 整 数存 在 Nnmx但21例 ： 求 edx4)1(0eBin4从 而 ： i nn 1)(32例 ： nSn212解 ： )14()3( 2121nnn齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 7 -区 间 上 的 积 分 和 ，在最 后 一 式 是 10)(

7、xfx ）要 用 到 施 笃 兹 （的 极 限 时 ， 我 们 还 经 常的 待 定 式或在 确 定 stolzyxon（n 等分.取右端点） 。在运用这一方法时，要巧妙转化，找出其积分原型，并发现其积分区间， （一般为0，1） ，恰当的转化，可使问题简化。（五） 施笃兹定理求极限定理 6，下面给出定理和它的两个难论：定理：（stolz 定理）1)存在 N0 为自然数，当 n N0 时，y n+1 y 递增.nn121 2102dSimn故 ： 1in）（又 ： 2)(3211ni nn 因 此 ：条 件 ：是 两 个 实 数 例 ， 若 满 足和设 nyxnyim)2存 在 （ 有 限 或

8、者 无 穷 ）1)3nnyxi 1nyxi则 ： )(1有 限 或 无 穷： 设推 论 aimnainn21则 ： )(02有 限 或存 在且： 若推 论 nxixim则 ：齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 8 -解：由 stolz 定理：nnim121例 ： 求 极 限 ： nin)1(原 式 mne1nim!例 ： 求 极 限 ： 0!2nx， 若 令解 ： 由 施 笃 兹 定 理 推 论 nnnixi21知 ：从而iinnn 1)(eimn!即 ：1ni例 ： 定 理 来 计 算 ：。 在 这 里 ， 使 用在 本 文 前 已 经 证 明 过 了 stolzni1:xn令

9、：证 明 xm：由 推 论 221nnnii知 ：齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 9 -二、求函数极限在前面，我们主要针对数列极限的求解作了详细地论述，接下来，我们来看一下函数极限与数列极限的联系。一般函数的极限可以归结为数列的极限。（一） 罗毕塔法则求极限（二） 利用两个重要极限求极限在函数极限的证明和计算中，除可以用以上各种方法外还可用其他方法。如利用两个重要极限，进行计算： nxxnxim)1(2)()2(例 ： ix解 ： 原 式无 穷 大都 趋 向 于 零 或 都 趋 向 于、时 ， 两 个 函 数若 当 )()(0 xgfx。 通 常 把 这 种 极 限 叫可 能

10、存 在 、 可 能 不 存 在或 者则 极 限 )(0 xgimgfix 求 极 限 。 可 利 用 罗 毕 塔 法 则或做 未 定 式 ， 并 分 别 记 做 8020cos1xi例 ： 求 极 限 则 ， 得”未 定 式 ， 用 罗 毕 塔 法时 的 “解 ： 这 是 当 21sinc020xmxi。均 达 于 零、例 ： 求 )(i mxnixnminximx ssicos 000 用 罗 毕 塔 法 则 ， 得 ： ”未 定 式， 所 以 以 上 极 限 为 ： “解 ： 因 为 ixx ss00 1cs0ix齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸- 10 -（三） 求分段函数的

11、极限对于分段函数 9的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设 T 为正常数，若函数xxx nnim112)()( nxi xxxx 1)()( )1()()(xnix 21)1(2xnnixx 0exf213)(例 ： 0 的 极 限 是 否 存 在时及分 别 讨 论 )(10xfx2)300imix时 有解 ： 因 为 当 )()(200imfixx (2(xffx所 以 ，不 存 在 。从 而 ： 时 ：当 1x 2)1()(211 ximfix)(2)(011 fimxifimxx 1fix所 以 ，、， axfg)(