产品广告费用分配对销量及利润的影响模型.doc

1、攀枝花学院学生课程设计（论文）题目产品广告费用分配对销量及利润的影响模型学生姓名学号201210802007所在院系数学与计算机学院专业信息与计算科学班级12信本1班指导教师职称讲师2014年12月19日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书题目具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型1、课程设计的目的数学建模课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题，让学生学完数学建模课程后进行的一次全面的综合训练，是一个非常重要的教学环节。2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）根据指导教师所下达的课程设计题目和课程设计要求，在规定的时间内完成设计任务；撰写详细的课程设计论文一份。

2、3、主要参考文献【1】姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，北京。【2】寿纪麟，数学建模方法与范例，西安交大出版社。【3】（美）JOHNAQUELCH等著吕林等译，市场营销管理教程和案例,北京大学出版社2000。【4】戴永良广告绩效评估，中国戏剧出版社，2001。4、课程设计工作进度计划序号时间（天）内容安排备注12分析设计准备周一至周二24编程调试阶段周三至周一32编写课程设计报告周二至周三42考核周四至周五总计10（天）指导教师（签字）日期年月日教研室意见年月日学生（签字）接受任务时间2014年12月15日注任务书由指导教师填写。课程设计（论文）指导教师成绩评定表题目名称具有自身阻滞

3、作用的食饵捕食者模型评分项目分值得分评价内涵选题1501能结合所学课程知识，有一定的能力训练。符合选题要求5遵守各项纪律，工作刻苦努力，具有良好的科学工作态度。02工作量适中，难易度合理10通过实验、试验、查阅文献、深入生产实践等渠道获取与课程设计有关的材料。能力水平3504综合运用知识的能力10能运用所学知识和技能去发现与解决实际问题，能正确处理实验数据，能对课题进行理论分析，得出有价值的结论。05应用文献的能力5能独立查阅相关文献和从事其他调研；能提出并较好地论述课题的实施方案；有收集、加工各种信息及获取新知识的能力。06设计（实验）能力，方案的设计能力5能正确设计实验方案，独立进行装置安

4、装、调试、操作等实验工作，数据正确、可靠；研究思路清晰、完整。07计算及计算机应用能力5具有较强的数据运算与处理能力；能运用计算机进行资料搜集、加工、处理和辅助设计等。08对计算或实验结果的分析能力（综合分析能力、技术经济分析能力）10具有较强的数据收集、分析、处理、综合的能力。成果质量4509插图（或图纸）质量、篇幅、设计（论文）规范化程度5符合本专业相关规范或规定要求；规范化符合本文件第五条要求。10设计说明书（论文）质量30综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分，结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。11创新10对前人工作有改进或突破，或有独特见解。成绩指导教师评语指导教师签名年月日I

5、摘要广告，就是广而告知的意思。随着市场经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学建模角度结合数学知识研究产品广告费用分配对销量及利润的影响，建立广告投入策略的模型，讨论了不确定环境下使得公司获利最大的最优广告费投入量。并用模拟近似法进行应用实例分析，从而得到模型参数的变化对最优策略的影响本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。关键词广告费用

6、市场竞争；销量；利润；优化模型；增长因子目录摘要I一丶问题重述1二丶符号说明2三、问题分析2四、模型假设3五、模型建立与求解4六、结果解释6七、实例分析6八丶模型评估9参考文献101一丶问题重述甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是X和Y。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占得份额，是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数YXXF和YXYF。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造，模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。（1）令YXXT，则11TFTF。画出FT的示意图。（2）写出甲公司利润的表达式PX。对于一定的Y，使PX最大的X

7、的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。2二丶符号说明K、C任意常数；X、Y甲、乙两公司各自投入的广告费；TYXXT；PX甲公司投入广告后获得的利润。三、问题分析广告对于任何产品它的最终目的是提高销售量，进而使销售利润上升。现实生活中，影响销售数量的因素有很多，包括市场的自然变动、价格因素、产品或者服务的性能和质量、广告的质量和密度、销售网络的密度和质量、行业特点等等。但在实证研究的过程中我们无法把所有因素都考虑在内，因此我们在做模型分析前假设销售数量只受广告费用的影响，并且产品所做的广告在一定意义上都是成功的。下面我们通过对销售与利润之间数量关系的分析，建立相应的函数关系模型，利用甲

8、乙两公司销售的函数，用求导，平移函数图像地方法，求出相应的利润最值问题。利润收入广告费，利用这个等式，建立甲公司利润的函数表达式，再根据已知的关系，求导，得驻点，进而得最值。3四、模型假设1销售数量只受广告费用的影响，且产品所做的广告在一定意义上都是成功的，商家的信誉度和产品质量是良好的。2不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，有且仅有这两个公司通过广告竞争销售该商品。3产品的销售过程和宣传力度均为连续过程，若某公司广告费用为0，则商品销售额也是0。4广告具有立时性，一旦宣传就起效应；5利润与销量成正比，且比例系数为K。商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能影响该产

9、品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值。6假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度。7产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定；8自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。4五、模型建立与求解问题（1）令YXXT，带入11TFTF得1YXYFYXXF，使用MATLAB软件，得到11TFTF的示意图结果FT图形以21，21为中心对称，如图实线或虚线所示。由X,Y的一般性，以下设F（T）为实线形状。问题（2）设甲公司广告费用为X,以公司广告费用为YY是常数。则甲公司销量为YXXF,销售额为YXXKF，K是常数）。利润PX

10、为XYXXKFXP。依题意即是要求P（X）取得最大值的点。方法一5由0XP可得211TAYTF，取任意常数C，CTKYTG11，则曲线族G（T）中与F（T）相切的那一条曲线的切点坐标为T，YXXT。如图方法二由F（T）T图形做出下图，再作直线AXXH，在曲线上找一点M，其横坐标YX，使过M点的切线平行于H（X），X即为所求结果按方法一或者方法二都可以得到结果。如图，X即为所求，即产品投资费用为X时甲公司获得的利润最大。6六、结果解释产品销售中的广告投入选择与费用分配一直是企业面临的一大难题，如何将其进行合理分配不仅体现了广告业务人员的决策意识，也是企业利润取得最大化的重要保障，在广告费用投入准

11、则中我们要知道既不是投入越多，收获也就更多，而是要采取理性选择，在广告费用投入越少的情况下使得利润最大，总而言之，广告在产品销售环节中已经起着举足轻重的作用，而且随着社会竞争的激烈加剧，它的重要性还会上升。本模型可以有效帮助决策者大致估算广告投入费用，提高广告费用的投入产出比。七、实例分析究竟如何分配才能使效益最大化了，我们举例说明一下某装潢公司以每桶20元的价格购进一批彩漆，想通过做广告使销售量有一个增长根据经验，彩漆售价与预期销售量的关系见表一（来源于网络），广告费与销售增长因子的关系见表二，其中销售增长因子意义为实际销售量等于预期销售量乘以销售增长因子现问广告费与销售价分别为多少时利润最

12、大售价（元）202530354045505560预期销售量（桶）4100038000340003200029000280002500022000200007广告费（元）01000020000300004000050000600007000080000销售增长因子100140170185195200195180175根据所给的数据，通过曲线拟合得到预期销售量与售价、销售增长因子与广告费之间的函数关系，并建立以售价和广告费为二元变量的利润函数，最后求极值得到问题的解第一步根据表中数据可预设销售量为线性函数TXAXB,设销售增长因子为二次函数ZYCY2DYE第二步利用数学软件中曲线拟合功能求出TXA

13、XB其中A51333,B5042222EDYCYYZ2其中C4251010,D409105,E102第三步由于利润实际销售收入购进彩漆费用广告费用，故设利润函数为YXYZXTYXP20,将第二步中TX和ZY代入得8YXEDYCYBAXYXP20,2其中A,B,C,D,E分别如第二步所示。分别将利润函数对X和Y求偏导并令其等于零得并将A,B,C,D,E的值代入得X5911,Y46620所以，当投入约46620元广告费，实际售价约为5911元时利润最大，此时获最大利润约为1525600元通过实例研究，分析可得如下结论相关关系证明了假设5利润与销量成正比，以及其他方面实例也与模型符合。9八丶模型评估

14、模型的优点1、易于推广，模型构思巧妙，能准确得出最佳广告费；2、应用范围广，可应用各种新产品的市场销售计划；3、基本模型对问题的描述精确、合理，推导严谨，理论性强。模型的缺点以及改进方法1此模型是理想化的模型，K的不确定性使这个模型比较粗糙，这里只是简单的使收入与销售成线性的正比关系。在实际应用中，可以再细微的调查相关数据，得出一个更精确的函数关系。2建模前假设的销售额不受其他因素的影响，使研究的精准性受到了限制。因此广告费用与利润的深层关系还有待进一步的研究。3上述模型说明了广告费与销量呈正相关关系。但从经济学的角度讲，任何现实投入都存在边际产出的问题。也就是说，广告的费用投入同样应该考虑边际产出，过度的投入不但不会使投入产出比增加，相反会引起降低，使产品的生产流通成本增加。所以广告费用的多少，应该与企业的生产流通规模相适应。正确利用模型，科学投入。10参考文献【1】姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，北京。【2】寿纪麟，数学建模方法与范例，西安交大出版社。【3】（美）JOHNAQUELCH等著吕林等译，市场营销管理教程和案例,北京大学出版社2000。【4】戴永良广告绩效评估，中国戏剧出版社，2001。