辅助函数在数学证明题中的应用.doc

1、东北师范大学网络教育本科论文辅助函数在数学证明题中的应用学生姓名指导教师学科专业数学与应用数学学号201302514470学习中心陕西商洛奥鹏东北师范大学远程与继续教育学院2014年10月独创性声明本人对本文有以下声明1本人所呈交的论文是在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，已按相关要求及时提交论文稿件，最终形成本文；2在撰写过程中主动与导师保持密切联系，及时接受导师的指导；3本文符合相关格式要求，除文中特别加以标注的地方外，论文中单篇引用他人已经发表或撰写过的研究成果不超过800字；4本人本文成稿过程中不存在他人代写、抄袭或和他人论文雷同的现象。论文作者签名日期2014年10月摘要

2、辅助函数是进行科学研究和解决问题的必要思想方法之一，尤其在数学分析和高等代数证明题中经常要构造辅助函数，作为一种解题技巧辅助函数起着化难为易，化未知为已知的桥梁作用，本文给出了几种辅助函数的构造方法原函数法，微分方程法，常数K值法，几何直观法，乘积因子；并且举出具体例子加以说明。关键词辅助函数，微分中值定理，不等式前言证明题中的方法很多，通过构造辅助函数使命题得到简洁而明了的证明，是一个很好的办法。如何根据问题的条件和所要证明的结论构造所需要的辅助函数，辅助函数的构造通常是根据所要证明的命题与需要应用的已知定理或已知命题之间，如果缺少某个条件，可构造一个具备所缺条件且和所证结论联系的辅助函数。

3、正如拉格朗日中值定理中的证明，就是构造一个罗尔中值定理的辅助函数，然后再所给的区间上应用罗尔中值定理，得出拉格朗日中值定理的结论，同样柯西中值定理的证明也是通过构造辅助函数而得证的。辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般来说应先分析命题的条件和结论，正确选择所需应用的定理，然后将欲证的等式和不等式变形，将其视为辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据。一、辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法,就是按一定方式，经有限次步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解。它具有两个显著的特征直观性和可行性。正是这两个特性,在数学解

4、题中经常运用它,但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结。辅助函数有许多基本特点。首先，辅助函数在题设中没有，在结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用。其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题。再次，构造辅助函数的思想较宽广。然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键。如何构造辅助函数事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则。这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而

5、构造出解决问题的特殊模式。构造辅助函数的第一原则是将未知化为已知。在一元积分学中许多定理的证明都是在析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成。其次，将复杂化为简单。一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形，由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的。再次，利用几何特征。在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证。1二、辅助函数的构造方法一微分中值定理中辅助函数的构造方法原函数法（）原函数法的思想将要证的结论中的换为X；通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；用观

6、察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为0；移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数FX。（2）拉氏中值定理证明中辅助函数的构造在拉氏中值定理的结论FBFAFBA中令X，则有FBFAFXBA两边积分得FBFAXFXCBA,取0,C，得FBFAXFXBA,移项得0FBFAFXXBA故FBFAFXFXXBA为所求辅助函数。在利用中值定理证明相关命题时，我们也可根据上面的思路来构造辅助函数，既先把命题结论转化为0,X的形式，据此构造出适当的辅助函数FX使其符合罗尔定理条件，然后利用罗尔定理给出证明，这就是原函数法，但构造FX有时尚需一定的技巧。例1设FX在闭区间0,1上连续，在

7、开区间0,1内可导，且010FF试证在开区间0,1内至少存在一点使0FF分析原结论即0XXFX,因此可直接设FXXFX显然FX在0,1上满足罗尔定理，由罗尔定理，在0,1内至少存在一点，使0FFF2微分方程法证明的关键在于如何构造辅助函数，若采用原函数的方法，结论中的代数式非常复杂，不易求出原函数，故用微分方程的方法。例2拉格朗日中值定理设函数FX在,AB上连续，在,AB内可导，则在,AB内至少存在一点，使得FBFAFBA分析由结论发现，将看成变量X，则可得到一阶微分方程,FBFAFXBA其通解为FBFAFXXCBA若将常数C变为X的函数CX，则得到一个辅助函数FBFACXFXXBA。证明作辅

8、助函数,FBFACXFXXBA有BFAAFBCACBBA则CX满足罗尔定理的三个条件，故在,AB内至少存在一点使得0FBFACFBAFBFAFBA例3设FX在0,上连续，在0，）内可导，且20,1XFXX则至少存在一点0，），使22211F分析先将看成变量X，由结论可化为使22210,1XFXX即201XFXX易知其通解为2,1XFXCX若将常数C变为X的函数CX，则得到一个辅助函数21XCXFXX证明作辅助函数21XCXFXX，则数2221,1XCXFXX由已知条件201XFXX得到00,LIM0,XFFX且201XCXFXX若0,0,CXX时，则0CX即有22211XFXX若0,0,CXX

9、时则必定存在0,AA使0,CA又CX在0，）上连续，由介值定理，必存在,BC两点，0BAC使0CACBCC对CX,BC上使用罗尔定理，则至少存在一点,0,BC使得0C，即22211F。在上述例子中，将某一客观存在的定值看成变量X，利用常数变易法的基本思想，将常微分方程通解中的独立常数C变为关于X的函数CX，我们就可得到待证命题中所需的辅助函数如果在教学过程中恰当的引入此法，对于开拓学生的思路，培养学生分析问题解决问题的能力和创新能力是有益的通过微分方程构造辅助函数的步骤如下（）先将结论中的值改为X，从而得到关于X的微分方程；（）再求解该方程的通解，并解出常数C；（）将常数C写成关于X的函数CX

10、,即CX就是所需辅助函数（）对辅助函数CX在给定区间应用罗尔定理，即得结论。这种构造辅助函数的方法在证明中值命题时很有实用价值，也便于推广应用。3常数K值法直接从定理的条件出发开构造辅助函数，较为自然的想法是已知函数YFX,未必满足FAFB。那么能否给FX添加一个尾项使得添加后的函数满足罗尔定理的三个条件呢最简单的尾项是取作X，若取FXFXX,则有FAFB为此给X添上一个可伸缩的系数使得出现FAFB取辅助函数FXFXKX，从FAKAFBKB中解得FBFAKBA故FBFAFXFXXBA即为拉氏中值定理证明中的辅助函数。这种引入方式可以减少困难易于理解，更重要的是能培养学生的思维能力和创造能力。沿

11、着上述思维方式发展下去，自然会想到若给FX添加的尾项改为函数GX会怎样即取FXFXKGX则由FAFB可得,FBFAKGBGA由GBGA所以对GX再提出要求即在,AB内可导且0,GX这正是柯西中值定理中的已知条件，故FBFAFXFXGXGBGA。即为柯西中值定理证明中的辅助函数，事实上易验证FX满足罗尔定理的三个条件，对FX在,AB上应用罗尔定理即得，在,AB内至少存在一点，使得0F即FFBFAGGBGA例4设函数FX在,AB上连续，在,AB内可导，证明在,AB内至少存在一点，使得BFBAFAFFBA分析令BFBAFAKBA，则BFBKBAFAKA，为一个关于A与B的对称式。故可取FXXFXKX

12、。证明令,BFBAFAFXXFXXBA则FX在,AB上连续，在,AB内可导，又0FAFB从而FX在,AB上满足罗尔定理，于是存在一个（A,B），使得0F，即0BFBAFAFFBA亦即BFBAFAFFBA将常数K值法进行总结并归纳出下面一般性结论（）常数K值法适用于欲证结论为至少存在一点,AB，使得,0NFKK及其代数式的命题；（2）常数K值法构造辅助函数的步骤为将欲证等式中常数部分分离出来并令为K；恒等变形使等式一端为A及FA构成的代数式，另一端为B及FB构成的代数式；分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换式，若是，只需把端点A改为X。相应的函数值改为FX则换变量后的表达式就是所求的辅助函数。

13、4几何直观法此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立恰当的辅助函数。5拉格朗日定理设函数FX在,AB上连续，在,AB内可导，则存在,AB，使等式FBFAFBA成立。分析该命题条件不满足罗尔定理条件中的FAFB。但从右图可见11,XFXYX满足罗尔定理条件。其中1YX为直线AB的方程且1,FAFBYXFAXABA从而可作辅助函数11XFXYX证明本题。证明如图直线AB方程为1FBFAYXFAXABA,作辅助函数1,FBFAXFXFAXABA容易验证1X适合罗尔定理条件，111,BAX在,AB连续，在,AB可导，且1FBFAXFXBA由罗尔定理知至少存在一点,AB使0,即FB

14、FAFBA，亦即FBFAFBA一般来说，凡XF与X的线性式，只要在端点处取值相同，都可取作辅助函数。如下列函数3AXABAFBFXFX,4AFBFAXABAFXFX,5AFBFXABXFX,都可取作辅助函数。这些函数在,BA上都满足罗尔定理的条件，从而可证明拉格朗日定理。67乘积因子法对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明，直接构造辅助函数比较困难，将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数,证明结论往往不受影响，XE为常数是常用的乘积因子。例5若函数XF在BA,上连续,在BA,内可导,且0BFAF,证明存在一点,BA,使得FF分析XE是个恒为正的因子,所以证明等式

15、或不等式的两端都乘以或除以这样一个因子,等式或不等式仍然成立,于是想到XE是个理想的乘积因子。证明构造辅助函数XEXFXF,可验证XF在BA,上满足罗尔定理条件,故存在BA,使得02EEFEFF即FF。8（二）辅助函数在不等式中的应用利用凸函数证明不等式时辅助函数的构造本文结合凸函数的知识,证明一类不等式时辅助函数的构造。定义设F为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点1X,2X和任意实数1,0,总有112121XFXFXXF,则称F为I上的凸函数。定理设F为区间I上的二阶可导函数,则在I上F为凸函数的充要条件是IXXF,0。JENSEN不等式若F为区间BA,上的凸函数,则对任意BAX,1，0

16、I,NIINI11,2,1,有NIIINIIIXFXF11如欲证的不等式一端（或经变形）恰为某一函数XG在点1X，2XNX取值之和,即21NXGXGXG,则可构造辅助函数为XGXF。例6设0,21NXXX,且121NXXX,证明当1K时,有KKNNKKNNNXXXXXX11112211证明引入辅助函数KXXXF11,0X因为11121XXXKXFK021111131222XXXKXXXKKXFKK故由定理知,在1,0内为凸函数,根据JENSEN不等式有112121NFNXXXFXFXFXFNNN即KKNNKKNNNXXXXXX11112211。9定积分不等式中辅助函数的构造该方法一般适用于被积

17、函数F连续情形。证明思路1）将积分上限（或下限）换成X,式中相应字母换为X,移项使一端为0,另一端作为辅助函数XF。2）再由XF的单调性得证。例7设F在BA,上是连续且严格的增函数,证明DXXXFDXXFBABABA2证令DTTTFDTTFXAXFXAXA2因2XXFXFXADTTFXFXA0DTXFTFXFAXDTTFXAXABAX,又F在AX连续,故F在BA,上严格递减,而0AF,0AFBF即DXXXFDXXFBABABA2。10利用辅助函数解一般问题有关解不等式的问题,一般运用比较法,分析法,综合法等然而,运算很麻烦且不易得到结果。这时我们针对所解决问题构造一个辅助函数,则原来问题的求解

18、或证明,就转化为对这一函数性质的研究这里有很多种方法,在此不作一一介绍,只介绍几种常遇到的问题。比较不等式两边的项类比构造辅助函数例8设函数1LN2XXXF,证明对任意的正整数N,有333131211131211NNFFFF分析从不等式两边的结构看,左边和右边分别可以看成是数列NA和NB的前N项和,其中1NFAN31NBN,若能证明311NNF,不等式即证因而可以构造函数3XXFXF,再利用它的单调性来证明。证明令3231LNXXXXXFXF,则1131123232XXXXXXXF当,0X时,0XF,所以函数XF在,0上单调递减又00F,所以,当,0X时,0XF即03XXF所以3XXF对于一切

19、正整数K,有,01K,所以有311KKF所以,11F,32121F,33131F,311NNF因此,对任意的正整数N,有333131211131211NNFFFF利用函数的性质来做辅助函数例9比较1LOGXA与1LOGXA的大小解构造辅助函数1LOG1LOGXXYAA10X,上式简化为XXXYXXX11LOG1LOG1LOG111,110X于是111X,又11X,这就是说,对于XX11LOG1而言底数X1大于1,且真数X11也大于1,因此,XX11LOG1为正数XXYXX11LOG11LOG11,而且,111102XXX1111XX即XX11LOG1的真数大于底数,因此11LOG1LOGXXA

20、A即1LOGXA1LOGXA。11（三）构造函数的方法形似法构造辅助函数对于有些不等式,根据不等式的结构特征构造辅助函数,再利用函数的性质来研究,是一种简单且行之有效的方法,下面阐述怎样用形似法构造函数。例10已知1X,2X,RXN,求证NNNNXXXXXXXXXXXX111122112121分析1N个式子形式相似,相当于函数XXXF1在相应1N个点的函数值,因此可以构造辅助函数XXXF1来研究不等式。证明构造辅助函数XXXF1,0X因为0112XXF所以XF在,0上单调递增的由于NNXXXXXX2121有NNNNXXXXXXXXXXXX2121212111NNNXXXXXXXX2121111

21、NNXXXXXX1112211参数变易法构造辅助函数例11已知函数XXXGLN,设BA0,证明022BAGBGAG分析题中BA,无法分离到不等式左右两侧,转换思想,考虑固定A,让B“动”起来,构造辅助函数22XAGXGAGXF其中AX因为1LNXXG，则2LNLN22XAXXAGXGXF当0A时,0LN2LNXAXAXAXXF,即0XF,故XF,A上为增函数当0A时,XF有最小值0AF又因为BA0,所以0AFBF即022BAGBGAG作差法构造辅助函数当已知被积函数连续,并没有告之可导时,通常用此法最为方便主要利用辅助函数的单调性证明,辅助函数的做法只须将结论中的积分上限（下限）换为变量,移项

22、使不等式一端为零,则另一端即为辅助函数。例12求证不等式121LN222XXXXXX在,0X上成立。证明令21LN2XXXXF011112XXXXXF所以XF在,0上单调递增又0X且XF在0X处连续,00FXF即21LN2XXX成立（1）令1LN122XXXXXG同理可证,0XG（2）故由1,2可知，原命题成立。结论综上所见,全面掌握,深刻领会辅助函数的应用与方法,无论是在理论方面还是应用方面,都有重要意义。构造辅助函数法是一个重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、归纳等数学思想。通过对构造辅助函数的研究,能够提高我们发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,只有对这种思想方

23、法有更深的认识,才能够更好的引导我们应用这种方法。参考文献1同济大学高等数学5版北京高等教育出版社20022刘玉链，傅沛仁编，数学分析讲义上册M高等教育出版社,19853吉米多维奇,数学分析习题集山东科学技术出版社，19814陈纪修,於崇华,金路数学分析上册M高等教育出版社,2002,95王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松编常微分方程M高等教育出版社,1983,96李玉凯,史成堂,翟美玲微分中值定理的研究J河南教育学院学报,2003,67文香丹微分方程在证明微分中值定理类问题中的应用J延边大学学报,2005,98WALTERRUDIN,PRINCIPLESOFMATHEMATICALANALYSIS,THIRDEDITIONISBN7111133064,20039赵刊,吴开禄辅助函数在解不等式中的应用J成都教育学院学报,200010同济大学等高等数学上册M北京高等教育出版社,200116617011李长青,杜素梅辅助函数在证明题中的应用J胜利油田职工大学学报,2002