高中线性规划练习(含详细解答).doc

1、第 1 页 共 8 页线性规划练习一、 “截距”型考题在线性约束条件下，求形如 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在(,)zaxbyR轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效y避免因画图太草而造成的视觉误差.1. (2012 年高考辽宁卷 理 8)设变量 ,xy满足-10+25xy，则 +3xy的最大值为A20 B35 C45 D55解 1、选 D； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点 5,时， 2+3xy的最大值为 55，故选 D.练习 1(2012 年高考山东卷 理 5)的约束条件 ，则目标241xy函数 z

2、=3xy 的取值范围是A ，6 B ，1 C1，6 D6， 3232321、选 A； 【解析】 作出可行域和直线 ： 03yx，将直线 平移至点 )0,(处有最大值，点ll)3,2(处有最小值，即 6z. 应选 A.二 . “距离”型考题1.【2010 年高考福建卷 理 8】 设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与 关x1-2y+30121于直线 对称,对于 中的任意一点 A 与 中的任意一点 B, 的最小值等于( )3490xy12|ABA. B.4 C. D.228551、选 B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等

3、）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到直线 的距离的最小值|AB13490xy的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线 的距离最小，故 的最小值为 ，所以选 B。|AB|349|25第 2 页 共 8 页2、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则 z=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 2043xy（ ）A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，455解 2： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距 离 的 平

4、 方 ， 故 最 大 值 为 点 A（ 2,3） 到 原点 的 距 离 的 平 方 ， 即 |AO|2=13， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0 的 距 离 的 平 方 ， 即 为 ， 选 C45三. “斜率”型考题1. 已知变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是_.,xy07xyx解：由 得 ；702xy59,A59/2OAk由 得 1,6B61B 表示过可行域内一点 及原点的直线的斜率 yx,xy由约束条件画出可行域（如图） ，则 的取值范围为 ，即 ；,OABk9,652、设 满足约束条件 ，则 取值范围是（ ）,xy04312xy31xy答案 B.A1,5.B2,6

5、.C,0.D,练习 1、若实数 x、y 满足 则 的取值范围是 （ ）,yxyxA.(0,1) B. C.(1,+ ) D.0,11,2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA第 3 页 共 8 页图 3yxO-11ABO ab1图 5解、选 C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域， 表示平面区域内的动点 与原yx(,)x点 之间连线的斜率，由图易知， ，选 C.(0,)Oyx1,评注：在线性约束条件下，对于形如 的目标函数的(,)bzaR取值问题，通常转化为求点 、 之间连线斜率的取值. 结合图形(,)y,a易知，可行域的顶点是求解斜率

6、取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定 的最小值无限趋近于 1.x四. “平面区域的面积”型考题1.【2012 年高考重庆卷 理 10】设平面点集 221(,)()0,(,)1()1AxyBxyyx，则 AB所表示的平面图形的面积为A 34 B 35 C 47 D 2解 1、选 D；【解析】由对称性： 1,()(1)yxy围成的面积与22,(1)()yx围成的面积相等，得： AB所表示的平面图形的面积为y围成的面积既 2R2.（2007 年高考江苏卷 理 10）在平面直角坐标系 ，已知平面区域xOy(,)|1,xy且 ，则平面区域 的面积为 （ ）0,xy(,)|(,BAA B

7、 C D11214解 2、选 B；【解析】令 ，则 ，,axyb(),()2xaby代入集合 A，易得 ，其所对应的平面区域如图阴影0部分，则平面区域的面积为 211，选 B.23.（2008 年高考安徽卷 理 15） 若 为不等式组 表示的平面区A02xy域，则当 从2 连续变化到 1 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 .axaA第 4 页 共 8 页解 3、答案 ；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域 ，74 A其中： .12:,:,:1lxyalxylxy当 从2 连续变化到 1 时，动直线 扫过的平面区域即为 与 之a 1l2间的平面区域，则动直线 扫过 中的那部分平

8、面区域的面积即为四边lA形 的面积，由图易知，其面积为： .BOCD74ABODCS练习 1.若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则034xy 3ykx的值是k（A） （B） （C） （D） 高737434解 1、选 A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由 得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0， ）4xy ABC = ，设 与 的交点为 D，S()23ykx34y则由 知 ， ， 2BCD1D52D，选 A. 5147,k2.若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b 为坐标点 所形成的平面区域的0,ba1,0yx1byaxa(,)Pab面积等于_.

9、解 2、答案 1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有 成立，只须平面区域顶点 的坐标都满足不等式byax ,AOB，易得 所以 所形成的平面区域的01,ab()Pab面积等于 1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.Dl图6l2CBAyxO11-2-22l1图7x+y=111O xyABAxDyCOy=kx+ 43第 5 页 共 8 页）（ 3,0）（ 0,3），（ 23-0),(mxy2五.

10、“求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定 ”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.1.在平面直角坐标系中，若不等式组10xya（ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，则a的值为A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 解 1、选 D；【解析】 作出不等式组10xya所围成的平面区域 . 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为 2；|AC|=4，点 C 的坐标为（1，4）代入得 a=3，故选 D. 0axy点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程 中含有参数 a 这个0axy特征，迅速与

11、“ 直线系” 产生联系，就会明确 可变形为 的11x形式，则此直线必过定点(0， 1)；此时可行域的“大致” 情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解. 2.【2012 年高考福建卷 理 9】若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数 m的最大值为（ ）A 21 B1 C 23 D2解 2、选 B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy32，则 m3，即 1。3.设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，290814xy， M64

12、22410 5 5 10o ACB第 6 页 共 8 页使函数 的图象过区域 的 的取值范围是（ ）(01)xya， MaA1，3 B2， C2 ，9 D ，910解 3、选 C；【解析】区域 是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中 ，使函数 的(1,9)3,8(2,10)(0)xya，图象过区域 ,由图易知 ，只须区域 M 的顶点 不位Ma,AB于函数 图象的同侧，即不等式xy(a0，a1)恒成立，即3(9)8a29.a评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律 .练习：1.设 为实数，若 ，则 的取值范围是m250(,)3x

13、ym2(,)|5xym_.解 1、答案 ；【解析】 如图 10，直线 ，40,3:,lyx14:3lyx由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线 应位于直线 与 轴之间（包括直线 及 轴） ，即 ，所以 的1lx1lx403m取值范围是 .40,3评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线 的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置 、 轴是解决本题第l 1lx二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.2.（2010 年高考浙江卷 理 7） 若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，则实xy30,21,xymxy

14、数 （ ）mA B C 1 D 22解 2、选 C；【思路点拨】画出平面区域，利用 xy的最大值为 9，确定区域的边界y=ax2x+y-14=0 x+2y-19=0BAyxO1x-y+8=0图12C3l5-5C图10l1yxOBA第 7 页 共 8 页xyO3310y20y2(,)7(4,5)A1xm【规范解答】选 C令 ，则 ，z 表示zxyx斜率为-1 的直线在 y 轴上的截距当 z 最大值为 9 时， 过点 A，因此 过点 A，yxz10m所以 1m六. “求目标函数中的参数”型考题1.（2009 年高考陕西卷 理 11）若 x，y 满足约束条件12xy，目标函数 2za仅在点（1，0）

15、处取得最小值，则 a 的取值范围是 （ ）A （ ，2） B （ 4，2） C (4,0 D (2,4) 解 1、选 B；【解析】如图，阴影部分 ABC 为题设约束条件所对应的可行域，其中 A(1，0) ， ， ，(3,4)(0,1)目标函数 对应直线 ，直线 的斜率为 ，在 y 轴上的2zaxyl2a截距为 . 目标函数恰好在点(1，0) 处取得最小值，直线 落在的直线 xy =1 按逆时针方向旋转到直线 2xy =2 的位置所扫过的区域，根据直线倾l斜角与直线斜率的关系，可得11，在约束条件 目标函数 z=x+my 的最大值小于下 ，1yxm2，则 m 的取值范围为A B C （1，3）

16、D)21,(),21(),3(解、选 A；【解析】在平面直角坐标系中作出直线 ，再作出直线 y (m1)，由图可1yx和 x知目标函数 z=x+my 在点（ ， ）处取得最大值 ，由已知可解 m.1m21maxz2、 （2010 年高考安徽卷 理 13）设 满足约束条件 ，若目标函数,xy2084 ,yx的最大值为 8，则 的最小值为_.0,zabxyab解 2、答案 4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是 ，由图易1(0,)2,(0),4知，目标函数在 取最大值 8，所以 ，所以 ，在 时是(1,)4ab2ab等号成立.所以 的最小值为 4.ab综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.