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1、计算机数学,例1 计算行列式例2 计算行列式,本 节 练 习 题,教师：田检,4,教师：田检,5,教师：田检,6,教师：田检,7,教师：田检,8,教师：田检,9,练 习,教师：田检,10,教师：田检,11,教师：田检,12,教师：田检,13,定义 矩阵 中不为零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作r(A)。,显然，对于任意矩阵 ，都有,如果方阵 的detA0 ，那么一定有r(A)=n ，这时称方阵A是满秩的。,矩阵的秩,教师：田检,14,由定义知，如果矩阵A的秩是r，则A至少有一个r阶子式不为零，而A的所有高于r阶的子式均为零。因为零矩阵的所有子式均为零，故规定零矩阵的秩为零。,教师：田检,15,

2、3. 对于矩阵A，下列说法哪些是对的？ A. 如果r(A)=2 ，则A的所有2阶子式都不等于0 。 B. 如果r(A)=2 ，则A的所有4阶子式都等于0 。 C. 如果r(A)=2 ，则A的有些3阶子式不等于0 。 D. 如果r(A)=2 ，则A的有些2阶子式可能等于0 。,教师：田检,16,教师：田检,17,下列说法哪些是对的？ A. 含有3个未知数、3个方程的线性方程组一定有解 。 B. 含有3个未知数、4个方程的线性方程组可能有无穷多组解 。 C. 含有4个未知数、3个方程的线性方程组可能无解 。,判断题,教师：田检,18,教师：田检,19,握手定理,教师：田检,20,教师：田检,21,

3、教师：田检,22,1）自反性定义 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA都有R,则称二元关系R是自反的。即例如设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=, 则R具有自反性。,教师：田检,23,3）对称性定义 设R是A上的二元关系，如果对于每对x,yA，当时，必定有 ，则称R具有对称性。即,教师：田检,24,4）反对称性定义 设R是集合A上的二元关系，对于每对x,yA，当R和R时，必有x=y，则称R在A上具有反对称性。即 即对于任意两个不同元素x,y，关系中不同时存在R和R，则关系具有反对称性。,教师：田检,25,容斥原理定理 对于任意两个集合A和B有：定理 对于任意三个集合A、B、C有：,教

4、师：田检,26,三、容斥原理1. 设某校足球队员有38人，篮球队员有15人，棒球队员有20人，三队队员的总数为58人，且其中只有三人同时参加三队，试求同时参加二队的队员共有几人。2一个班级共有52名学生。其中有24人喜欢打篮球，有18人喜欢下棋，其中有10人喜欢打篮球又喜欢下棋，问有多少人这两项运动都不喜欢？,教师：田检,27,设A、B、C是全集E的任意子集，试证明：,教师：田检,28,例证明吸收律:证明a):证明b):,教师：田检,29,例 设A、B、C为任意三个集合，则证明：,教师：田检,30,例 设A、B、C为任意集合，则证明a):证明b):,教师：田检,31,1.否定（Negation

5、） 定义1-4 设P为任意命题，复合命题“非P”（或“P的否定”）称为P的否定式，记作：P。“ ”为否定联结词。命题P读作 “非P”。 逻辑否定是一个一元联结词，它与日常语言中的“不”、“无”、“没有”、“非”等联结词相似。它是对原命题的否定，其真值与原命题相反。 例如：p ：今天天下雨。 则 P：今天天不下雨。 为了书写方便，通常用0代替F，1代替T，如表1-1。,P,P,01,10,表1-1,教师：田检,32,2.合取(conjunction) 定义1-5 设P 、Q为任意两个命题，当这两个命题起着同等重要作用时，可用合取联结词进行联结。记作pQ 。复合命题pQ 称为P与Q的合取式 。“

6、”是合取联结词。命题PQ 读作 “P与Q”，也可读作 “P与Q的合取”。 当且仅当P与Q同时为真时，PQ 为真，否则为假。其真值表如表1-2所示。,P Q,0 00 11 01 1,0001,表1-2,教师：田检,33,3 .析取(disjunction) 定义1-6 设P 、Q为任意两个命题，若P 和Q是一种“或”的关系，则由析取联结词“ ”将命题P、Q组成的复合命题，称为P、Q的析取式，记作：PQ。命题读作 “P或Q”，也可读作 “P与Q的析取”。 PQ 为真,当且仅当P与Q中至少一个为真，因此只有P和Q同时为假时PQ才为假。的真值表如表1-3所示。,P Q,0 00 1 01 1,011

7、1,表1-3,教师：田检,34,4.条件(conditional implication) 定义1-7 设P 、Q为任意两个命题，若P、Q以因果关系的形式组成的复合命题，则称该命题为条件命题，记为PQ。 “ ”为条件命题联结词。命题PQ 读作“如果P，那末Q”，或“P推出Q”，也可读作“若P，则Q”。 P为条件命题的前件(antecedent)，Q为条件命题的后件(consequent)，,P Q,0 00 101 1,1101,PQ的逻辑关系为：P是Q的充分条件，或Q是P的必要条件。的真值表如表如右。,教师：田检,35,5.双条件 (biconditional) 定义1-8 给定任意两个命题

8、P、Q ，如果PQ 而且Q P ,则由它们组成的复合命题称为双条件命题,记作:P Q 。 “”为双条件联结词。命题读作“P当且仅当Q ”。 缩写为P iff Q 。,P Q 的逻辑关系为：P与Q互为充分必要条件。P Q 为真当且仅当P与Q的真值相同(P与Q同为真或P与Q同为假)。 P Q 的真值表如右表所示。,P Q,0 00 101 1,1001,教师：田检,36,常用的命题等价公式有：,其中包含否定、合取和析取联结词的等价命题公式称为命题定律，包含条件和双条件联结词的等价命题公式称为联结词归化。,联结词归化,教师：田检,37,例1-14 推导证明下列各式证明：,教师：田检,38,（2） 证

9、明： 联结词归化 联结词归化 结合律 德.摩根公式 联结词归化,教师：田检,39,证明：,所以P(pQ)Q,下面介绍几种证明A永真蕴含B的方法。 方法一：用真值表法或等价变换(推导)法证明AB 1例1-24证明 。,教师：田检,40,例1-26 如果我认真学习，我的“离散数学”不会不及格， 如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学习， 但我的“离散数学”不及格。 结论：我热衷于玩电子游戏。,教师：田检,41,证明： 设P：我认真学习。 Q：我的“离散数学”及格。 R：我热衷于玩电子游戏。 符号化为： 设前件 为1，则 为1、 为1、 为1。所以Q为0，因为 为1，所以p为0。 又因为 为1，所以 为0，故此R为1。 所以推导有效。,