数学与应用数学毕业论文关于最小多项式的性质研究及其应用.doc

1、关于最小多项式的性质研究及其应用何小燕 摘要 本文利用矩阵多项式讨论了最小多项式的某些性质，得到计算最小多项式的一种可行方法，并以最小多项式为工具解决一些有关矩阵和线性变换的问题，其方法简单易懂.关键词 最小多项式 零化多项式 矩阵函数 矩阵多项式 0 引 言矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，于是最小多项式的性质也极其重要，但在文献4中，对最小多项式的性质讨论较少，对它的应用也较少的介绍，丘维声在文献1中讨论了线性变换的最小多项式及应用，而史荣昌、魏丰编在文献2中讨论的是在复数域上矩阵最小多项式的性质，这些文献都只讨论了最小多项式的一小部分性质，对它

2、的应用也是较为模糊.为了更好的理解最小多项式以及它的应用，本文较系统的讨论了矩阵的最小多项式在数域 F 上的一些性质，并将它在矩阵对角化及矩阵函数方面的应用例举出来，具有很好的使用性，且使它的性质及应用更加易懂而明了.本文约定，以下讨论的矩阵 A 都是数域 上的 n 阶矩阵.1 预备知识在文献1中定义了域 F 上线性空间 V 的一个线性变换 的最小多项式，它是线性变换A的所有零化多项式中次数最低且首相系数为 1 的那个零化多项式是线性变换 的最小多A A项式，记为 .m定理 线性空间 V 上的线性变换 的最小多项式是唯一的.1 A定理 设 是域 F 上线性空间 V 的线性变换， 中的多项式 是

3、 A 的零化2 Fg多项式当且仅当 是 的最小多项式 的倍式.gm定理 设 是域 F 上有线维线性空间 V 上的线性变换，则 的最小多项式 与13A m特征 在 F 中有相同的根（重数可以不同）.f引理 1 是 维线性空间 V 上的线性变换.n(1)若 在 V 的某基下的矩阵 是某多项式 的伴侣阵，则 的最小多项式是AdA；d(2)设 的最高次的不变因子是 ，则 的最小多项式是 .Ad2 最小多项式的定义及其性质由上述线性变换最小多项式的定义及性质可以类似的定义矩阵 A 的最小多项式，为了引出矩阵 A 的最小多项式的定义，首先给出数域 上矩阵 A 的多项式定义.nF定义 已知 和变量 的多项式

4、21nAF110mpaa则称 是 A 的矩阵多项式 . 和 A 同为数域110()mpaE ()p上的 n 阶方阵 .F定义 给定矩阵 ，如果多项式2 nAF110mpaa满足 ,则称 是 A 的零化多项式.0p定义 3 矩阵 A 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为 A 的最小多项式，记为.m定理 设 ，则24nF(3) A 的任一零化多项式都能被 整除；m(4) A 的最小多项式 是唯一的；(5) 相似矩阵的最小多项式相同.引理 2 相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似.如 1010,22ABA 与 B 的最小多项式都等于 ，但是它们的特征多项式不同，因此

5、和 不1 AB是相似的.定理 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 的最小多项式没有重根.35引理 3 数域 F 上 级矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 的最小多项式是 Fn上互素的一次因式的乘积.定理 设 A 是一个准对角矩阵4612并设 的最小多项式为 ， 的最小多项式为 ,那么 A 的最小多项式为 ，11gx2gx1gx的最小公倍式 .2gx2,引理 4 设 , 分别是 的1sAdiaA 12,sm 12,sA最小多项式，则 A 的最小多项式 是 的最低公倍式.m证明：设 是 A 的最小多项式，则m12,0sdiagmAA于是 ，即 是 的零化多项式，因此120,

6、s 1,是 的公倍式.另一方面，若 是 的最小公倍式，则 ，若12,s 0mA不是 的公倍式，则 .证毕m12,s 0A引理 5 级若尔当块ik1iiii kJ 的最小多项式是 .ikx定理 7 矩阵的最后一个不变因子即为其最小多项式.推论 1 域 F 上 n 阶矩阵 A 的最小多项式 与 A 的特征多项式 在 F 中有相mf同的根（重数可以不同）.注：虽然，最小多项式和特征多项式的根相同，但由于重数不一定相同，所以最小多项式不一定就是特征多项式推论 2 设 A 是域 F 上的 阶矩阵，域 E 包含 F.则 A 的最小多项式 与 A 的特证n m多项式 在 E 中有相同的根（重数可以不同） .

7、f推论 3 设 A 是 F 域上的矩阵，域 E 包含域 F，则如果 是 F 域上的矩阵 A 的最小多项式，那么把 A 看成 E 域上的矩阵，它的最小多项式仍然是 .引理 6 设 A 是 上的 n 阶矩阵.(6) 若矩阵 A 是某多项式 的伴侣阵，则 A 的最小多项式是 ；dd(7) 设 A 的最高次的不变因子是 ，则 A 的最小多项式是 .证明：(6)设 11nndaa 12100na则 A 的不变因子为 ， .将 分解为：1,n 个 d12srrrd 12,sijn 且则 A 的初等因子为 ，于是 A 的若尔当标准形为12,sr，其中12sJJ 1,21iii ks 由于相似矩阵有相同的最小

8、多项式，故得 A 最小多项式为12srrrd从而 A 的最小多项式为 .d(7)A 的最高次的不变因子就是 A 的第 个不变因子 ，于是 ，nndnd由不变因子的性质可知，又根据非常数不变因子可以得到矩阵 A 的有理标准形，由(6) 的结果知 A 的最小多项式为，故 A 的最高次的不变因子 就是 A 的最小多项式.由引理 6 可得到计算 n 阶矩阵 A 的最小多项式的一种计算方法，即计算以矩阵 A 为伴侣阵的多项式 ，则 就是矩阵 A 的最小多项式，还可以得出另一种计算方法就是()d()计算 A 的最高次的不变因子，此不变因子就是矩阵 A 的最小多项式。3 最小多项式的一些应用3.1 用最小多

9、项式研究线性变换的矩阵表示线性变换的最小多项式在研究线性变换的最简单形式的矩阵表示起着十分重要的作用.下面的例题就利用了这一性质来解决矩阵的问题.例 1 设 都是域 上 维线性空间 上的线性变换，证明：如果12,mA FnV都可以对角化，且它们两两可交换，那么 中存在一个基，使得2,mA在此基下的矩阵都是对角矩阵.1证明：对线性空间的维数 作第二数学归纳法.n时， ， 在 的基 下的矩阵为 级矩阵，从而是对角矩阵，nVdiA1.因此命题为真.1,2i假设对于维数小于 的线性空间命题为真，现在来 维线性空间 的情形.由于 可nnV1A以对角化，因此12sVV 1其中 是 的所有不同的特征值，若

10、，则 ，从而 是 的数乘变12,m 1A11换 ，它在 的任何一个基下的矩阵都是数量矩阵，从而可以不必考虑 ，转而去考虑1A.因此不妨设 .任给 ，由于 与 可交换，因此 是 的不变子2A2S1,js iA1jViA空间，从而 是 上的线性变换， .由于 两两可交换，因jiVj ,2im 2,m此 两两可交换 .设 的最小多项式是 .由 式得，12,jj jmA 1jVij1的的最小多项式 为i i.12,iiiis由于 可对角化，因此 的最小多项式 在 中可分解成不同的一次因式的乘积，i i iF从而 在 中可分解成不同的一次因式的乘积，于是 可对角化，ijF jiAV.由于 ，因此对于 上

11、的线性变换1,2m diijVnj在此基下的矩阵 都为对角矩阵，于是,jj jAVA 12,jjmjA在 的基12, 1212212,snnsn 下的矩阵 分别为12,m.11212212, s ssmmAdiagAdiagA 由此看出 都是对角矩阵.12,m由第二数学归纳法原理，对一切正整数 ，命题成立.n3.2 求解最小多项式及用其讨论矩阵的相似对角化情况 例 2 求矩阵 的最小多项式.1A 解：矩阵 的特征多项式为11fxEA 1n又 ， ， 002而 =AE所以 A 的最小多项式为 xn例 3 求下述数域 F 上的 级矩阵 的最小多项式，并且判断 A 是否可对角化.3A3102分析：利

12、用最小多项式的定义就可求出 的最小多项式，判断一个矩阵 A 是否可对角A化，一般是利用矩阵 A 的特征多项式求特征根，再计算 A 的每个特征值的几何重数是否等于它的代数重数，若等于则可对角化，反之就不可.也可利用初等变换化成最简单形式进行判断，在这我们利用矩阵的最小多项式来进行求解.解：先求 A 的特征多项式 ：f31020321fIA20,201AIAI因此 A 的最小多项式为 ，由引理 3 知 A 不可对角化.2m3.3 最小多项式在矩阵函数中的应用用最小多项式讨论了矩阵函数 在 A 的影谱上有定义，从而利用 在 A 的影fxfx谱上有定义来讨论矩阵函数的性质，使讨论矩阵函数的性质更为简便

13、.为了研究这个问题及引进矩阵函数的需要，我们首先给出关于函数在矩阵 的谱上的定义.定义 设 , 为 的互不相等的特征值，A 的最小多项式24nAF12,s2sdddm若函数 具有足够多阶的导数值，且下列 个值（称 在影谱上的值）fxmfx1, ,idii if 都有确定的值，便称函数 在矩阵 A 的影谱上有定义.x定理 设 与 为两个不同的多项式， 为 阶矩阵，则 的28pqnpAq充分必要条件是 与 在影谱上的值对应相等，即 11,2;0,2kkii iskd 为了探讨最小多项式在矩阵函数中的应用，下面给出矩阵函数的概念.定义 设函数 在 阶矩阵 的影谱上有定义，即25fxnA11,2;0,

14、2kj iskd 是确定的值.若 为一多项式，且满足p 1,;,kkjj if 则矩阵函数 定义为： AfAp注意： 由定理 5 知满足上述定义的 是不唯一的.1矩阵函数 是与 相同阶数的矩阵.2f下面利用最小多项式来讨论矩阵函数的内插多项式表示的性质.根据矩阵函数定义知道，函数 的矩阵函数 是用一个多项式 的矩阵多fxfApx项式 来定义的，只要 与 在 A 的影谱上的值全相同，而根据数值计算课程pAp知道，在诸多满足要求的多项式中有一个次数最低的称为拉格朗日西勒维斯特内插多项式.设 n 阶矩阵 A 的最小多项式为1212sdddA smxxdm 3.1若函数 在 A 的影谱上的值有定义，则

15、 的拉格朗日 西勒维斯特内插多项式是f f112 kks dkkdpaaxx .2其中1!klkl kxfdx3.111kkksAkdddxxx ,2;,ksl 容易验证，多项式 的次数为 ，且 与 在 A 的影谱上的值全相同.因此px1mpxf根据矩阵函数定义便有 11 kks dkkdfAaEAaE 3.4称式是矩阵 的拉格朗日西勒维斯特内插多项式表示.f例 4 设 0432试求矩阵函数 的拉格郎日西勒维斯特内插多项式表示并计算 ， .f sin2Ate解： 的最小多项式 ：A21Axx由式 得 3.1,2k 21,1由式 得 ，1xfaf，1211xfdaff 122xff代入式 得3.

16、2 11pxfffxf因此 的拉格朗日西勒维斯特内插多项式表示为A212ffEffAEfAE 当 时， 代入式 得sin2x,0,3.43i210A当 时， 代入式 得txfe 21,tttfeffe3.4222263090428113tAtt tt tt tEAEAEete总结：最小多项式具有广泛的用途，除了以上利用最小多项式为工具讨论矩阵对角化、矩阵函数等之外，还可以用它来探讨伴随阵及 Jordan 标准形等的性质，在矩阵中具有很重要的作用，值得我们认真深入的研究最小多项式的性质，使其更好的运用于对矩阵的探讨.本文在写作过程中曾得到指导老师吴炎教授的悉心指导，在此对吴教授表示衷心的感谢.参考文献1丘维声编著.高等代数学习指导书M. 下册,出版社：清华大学出版社， 2009.54252矩阵分析（第二版）M.史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2005.92533矩阵理论及其应用M.黄有度，朱士信编著，合肥工业大学出版社，2005.8974高等代数(第三版 )M.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王鄂芳，石明声修订，高等教育出版社 2003.9323 5高等代数解题精粹M.钱吉林编著，中央民族大学出版社，2002.10407