三角函数恒等变形技巧平面向量,解析几何,函数,算法.doc

1、1数学解题技巧方法谈第一集1、三角恒等变换的基础、应用及技巧（1）2、关于简单三角变换的问题（21）3、三角恒等变换易错题剖析（28）4、知识大盘点基本初等函数及三角恒等变换（31）5、应试答题技巧（33）6、考前状态调整（36）7、数学(理)：2009 年命题预测及名师指导（38）8、第二章 数学科考试大纲导读（40）9、必考内容与要求：函数概念（44）10、必考内容与要求：立体几何初步（50）11、平面解析几何初步（54）12、算法初步（57）13、高考数学知识网络图（58）古人云：工欲善其事，必先利其器。方法对头，百事不愁。解题之道，技巧先行。2一. 教学内容：暑假专题三角恒等变换的基础

2、、应用及技巧二. 教学目的1、复习三角恒等变换的基本公式及相互关系2、分析三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧三. 教学重点、难点三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧四. 知识分析1. 三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式（5）万能公式， ， 3（6）积化和差，（7）和差化积，2. 网络结构43. 基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中， 是一个任意角，可正可负。另外，公式 虽然形式不同，结构不同，但本质相同：。（2）怎样正确理解正切的和差角公式？

3、5正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：推导正切和角公式的关键步骤是把公式 ，右边的“分子”、“分母”都除以 ，从而“化弦为切”，导出了 。公式 都适用于 为任意角，但运用公式 时，必须限定 ， 都不等于 。用 代替 ，可把 转化为 ，其限制条件同。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如 15，75，105角等）的三角函数值。能由两个单角 的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角 的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化

4、简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？先用二倍角公式导出 ，再把两式的左边、右边分别相除，得到 ，由此得到的三个公式： ， ， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由 所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易证明 。 4. 三角函数变换的方法总结三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常

5、用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握6三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例 1】已知 同时满足 和 ,且 a、b 均不为 0，求 a、b 的关系

6、。解析：已知显然有：由cos 2cos，得：2acos 22bcos=0即有：acosb=0又 a0 所以，cosb/a 将代入得：a（a/b） 2b（b/a）2a即 a4b 42a 2b2 （a 2b 2） 20 即ab点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。（2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变它应用广泛，方式灵活，如 可变为（）；2 可变为（）（）；2 可变为（）；2 可看作 4 的倍角；（45）可看成（902）的半角等等。【例

7、2】求 sin（75）cos（45） cos（15）的值。7解析：设 15，则原式sin（60）cos （+30） cos（sincos60cossin60 ）（coscos30sinsin30） cos sin cos cos sin cos0点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。【例 3】已知 sinsin（） （其中 cosA），试证明：tan（）证明：已知条件可变为：sin（）sin （）所以有：sin （） coscos （） sinsin （） sin （）（ cos）cos （） sin tan（）点评：

8、在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有 1 的三角公式，将原式中的 1 或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是 sin2xcos 2x, sec 2xtan 2x, csc 2x cot 2x，tanxcotx, secxcosx, tan45等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。【例 4】化简：解析：原式8点评：1“ ”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解

9、决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。【例 5】解三角方程：sin 2xsin 22xsin 23x解析：原方程变形为：（1cos2x） （1cos4x） （1cos6x）即： 1cos6x cos2xcos4x2cos23x 2cos3x cosx 得： cos3x sin2x sinx 0解得： x 或 x （ ） 原方程的解集为x| x 或 x , 点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了提取公因式。（5）添补法与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”

10、上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。【例 6】求证： 证明：左边9 右边 原式成立。点评：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。（6）代数方法三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。【例 7】锐角 、 满足条件 ，则下列结论中正确的是（ ）A.+ B. +C. + D. +解析：令 sin ,则有整理得： （ab） 20 即 ab即： sin 2cos 2 （， 同为锐角） sinc

11、os ，故应选 D。点评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷解题的效果（7）数形结合10有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。【例 9】已知： ， ，求 的值。解析：点 ， 均在单位圆上。由已知条件知：AB 的中点坐标为（1/6,1/8），即直线过 定点 C如下图所示xOC 据万能公式得：点评：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法。数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举

12、一例，本文不赘。从六、七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以上七个方面外，还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角，借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究