1、二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现：1.（2015 广东文 19）设数列 的前 项和为 ， 已知 ， ， ，nanS*N1a2354a且当 时， 2n21458nSS（1）求 的值；a（2）求证： 为等比数列；1nna（3）求数列 的通项公式2.在数列 中， ， （ ） ，求数列 的通项公式n1,211nna2na问题呈
2、现：第一题中的第三问是难点，当 时， ，易得1458nSS，即 ，实际上就是已知 ，求21114()4()()nnnSSS21n 214nna的通项公式。第 2 题更是典型的已知 （ ） ，aa2求数列 的通项公式n这两题的共同特点是：已知数列 求 的通项公式，即*1221,(,0),nnbpaqNpqna二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例 13 已知数列 ， （ ） ，求数列的通项公式。 （人教版高中数学必na2121 3,5nnaa修 5 第二章数列复习参考题 B
3、 组第 6 题）解法 1：（归纳猜想）由已知可得： 猜想1,2345,9,1,(用数学归纳法证明略 )11*73()4nnnaN解法 2：（构造法）将 变形，21nna 23)(3)2( 21211 nnnn aaa 若 即 或者 3,则 是一个等比数列 ,公比为 2- . 时， 是一个,3n 1na首项为 7,公比为 3 的数列, 117n时， 是一个首项为-13,公比为 的等比数列 1na11()nn由两式消去 得：1n11*73()4nnn N解法 3：（待定系数转化法） ，设 ，其中 是待定的常数，213nnaa112()nnaa,则 。得 ，比较系数显然 是方程 的两根，即方程12(
4、)nnna3与 30x的两根。23x，33=113或得： ，以下与解法 2 相同可得112112(3)+3()nnnnaaaa或11*7()4nnnaN我们发现解法 2 与 3 本质相同，都是构造等比数列，再利用方程思想得到通项公式。这种解法可以推广到一般：揭示结论：设数列 ,( ) ，求12,ab21(*)nnapqa0pqna设： 是待定系数，整理得： 比较系数得：(),n21(),nna，所以 是方程 的两根。,pq,2xI.当 时，设其实根为 ，从而有 或 得 或0,211()nnnaa。211()nnnaa所以，数列 分别是 和 的等比数列1,na故得： 12()n1na当 时，由
5、消去 得1na1122()()nnaa令 ，则 常数 由 确定21211(),acc112,nnc2,c1,当 = 时，由得 ，两边同除 得 。数列 是公p112()nnaana211nana差为 首项为 的等差数列。得： 得令 ，21,a 22(),n122c，得 ，常数 由 共同决定。22c12()nnc1,c,所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程 的特征方程 ，运用特征根方21nnapqa2xpq程特点解题，是非常简单的。结论运用对于文中所涉及的第一小题（2015 广东文 19）的第三小问我们便可以运用此法解答.题目中已经求出递推方程，所以其特征方程为 ，解得方程只有两个相等的
6、实根即： ，所以214nnaa214x 12， 可得： 12()(nnc1,23a122()1()(c10,c21na第（2）小题的递推公式 （ ） ，其特征方程为 .解得 , .可11nn2x15x2x设 111255()()nnnacc. ，可得： 解得 ,1,21225151cc51225c代入 可得na()()2nn由此可见遇到此类求通项公式的题,用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很简单的.回头梳理整个通项公式的探究过程,我最大的感触是不要轻易放过教材中的任何一道题目.教材是专家经验的积累、智慧的结晶，所以每道例题、习题都有其存在价值。教材永远都是题目的本源，教会学生利用好教材，善于积累将会起到事半功倍的效果。第八讲 多面体与球的组合体问题
