配分函数的分析与计算.doc

1、2014 届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓 名： 张坤 系 别： 物理与电气信息学院 专 业： 物理学 学 号： 100314025 指导教师： 王保玉 2014 年 4 月 12 日商丘师范学院学士学位毕业论文目 录摘要 .I0 引言 .11 配分函数的分析 .11.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 .11.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 .11.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 .21.4 配分函数是状态函数 .31.5 配分函数属于特性函数 .32 配分函数的计算 .42.1 统计系综的几率分布与配分函数 .52.2 近独立系统的配分函数

2、.62.2.1 近独立系统的经典统计 .62.2.2 近独立系统的量子统计 .6结束语 .9参考文献 .10致谢 .10商丘师范学院学士学位毕业论文配分函数的分析与计算 摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function p

3、lays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate its physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a compre

4、hensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical sign

5、ificance System Ensemble商丘师范学院学士学位毕业论文00 引言 热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。由于微观粒子运动的复杂性和多样性的特点，如何将复杂的微观量表示系统宏观性质是一个复杂的问题，完成这一任务的桥梁就是配分函数。正确的分析配分函数以及理解和掌握其相关的计算方法，对统计物理学起着非常重要的作用。1 配分函数的分析由麦克斯韦-玻尔兹曼分布 得iieensi f或ZNiii或 ssee

6、fs得配分函数为： si siZZ或为能级数， 为量子态数， 为第 个能级的简并度。isi1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质由上 得：， ，ieZNniseZfs又得： ，iiss对于系统中的某个粒子来说，粒子在各个能级上的分配情况就是粒子出现在该能级上的概率。由上式可以得到，左边式子 即为粒子出现在能级 上的概率，式子右边是关Nni i于物理量 的关系式。系统中 个粒子中出现在能级 上的粒子数越多，即粒子出现在Zi该能级上的概率就越大，相应的物理量 直接受到影响。同理， 为粒子出现量子态ZNfs中的概率。系统中的 个粒子分配到量子态 中的粒子数就越多，即相应的粒子出现s s在量

7、子态 中概率越大。同样的物理量 也受到影响。与此同时，物理量 的变化也同样s Z影响着粒子在能级上或者量子态上的概率，即粒子在能级或者量子态上的分布。因此配分函数是粒子出现在各个可能能级或者是可能的状态上的相应的决定量，正因为如此， 选为配分函数。1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和由于 ZeNnii商丘师范学院学士学位毕业论文1得 ieZNni式子 为粒子出现在能级 上的概率，式子右边 为玻尔兹曼因子。由式子可以i i ie看出出现在某能级上或者量子态的粒子概率正比于玻尔兹曼因子 ，因此玻尔兹曼因子i也是一个与粒子在某能级或者量子态上的概率有关的物理量，可以作为相对概率,

8、就ie可以表示能级 上各个单个粒子量子态相对概率之和。配分函数 可知道，i iiZ表示的是所有的可能量子态相对的概率之和，因此配分函数也是统计之和 。Z 11.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度配分函数，si si eZe或其中玻尔兹曼因子为 。i玻尔兹曼因子随着能级数的增加以负指数的规律减小，可知 为收敛级数，并且配分Z函数 是一个无量纲的数，因此 为有限的无量纲数。从另一方面看，简并自身就是一个ZZ无量纲的数，配分函数 为无量纲数也是无可争议的。进而也可得到配分函数就为一个确定的数，在能级及简并度和温度都已经明确确定，级数的收敛度将会决定该数的大小。假定系统中各个能级是等间距的，

9、能级是非简并的 ，能量的基准为基态的能量1（取 ）0并令 xkTii1则 0 1021012 12. .1xxkTkkTkTZeeeLe 由上式可知，能级间距和温度都是 的决定量，同样也是配分函数 的决定量。随着能级xZ的间距增大，相应的 就会越大，收敛级数 就会收敛越快，同样的温度越低， 也会越xZ大，收敛级数 也会收敛的越快。对于能级来说，能级越低，能级间间距越大，收敛级数就会越接近于1，所以配分函数在低能级上起到的作用就越大。配分函数 为收敛级数，如能级间的间距足够大或者温度足够低，在这种极限的条件下， 会趋近于无穷大，进而x，所以收敛函数 几乎近似等于1，此时相应的系统中，粒子几乎全都

10、集中在能01kTiie Z级低的基态上，能级相对高的激发态上的粒子的数量近似等于0。对于相反的情况，随着能级间距的减小，温度的降低，相应的 就会越小， 就会增大，级数 就会收敛的越xkTiie1 Z慢，配分函数在低能级上起到的作用就越小，高能级上的作用会越大，因此粒子在高能级上数量就会增多。可以见得，级数 收敛越慢，配分函数的数值越大，粒子不会全部集中在基态上，粒子在Z商丘师范学院学士学位毕业论文2高能级上适当分布，粒子在各个能级间的分布相对比较均匀，相反级数 收敛越快，然而Z配分函数的数值越小，粒子比较在低能级上集中。所以说，配分函数大小是表示粒子离开基态的程度大小的量度。在能级是简并的情况

11、下，玻尔兹曼因子仍然会随着能级的变化而变化，对于能级非简并状态不影响，但是配分函数除与玻尔兹曼因子有关外，还受到简并度 的影响，配分函数的数值可以增大，但是经过一个最大点之后，然后又会均匀的减小。这就意味着体系在平衡时所分配最多粒子数的能级上并不一定是最低的能级 。43因此，在对配分函数的分析过程中，粒子状态的配分是最为重要的，配分函数的物理意义也就体现于此，也就是粒子在各个不同的能级上或者量子态上的分布状况，配分函数就是那个充分描述这样分布特性的物理量。对于统计物理学来说，最关键的问题就是热力学系统中的微观粒子分布情况。1.4 配分函数是状态函数配分函数的表达式iieZ其表达式是一个收敛级数

12、，所以配分函数是系统中所有的可能的微观状态的求和。每一个微观状态都影响着配分函数的值，相应的配分函数 也反映了系统中的各个微观状态。在Z系统的宏观状态确定的情况下，影响配分函数的微观状态趋于稳定，可得配分函数的数值也是唯一的，所以配分函数 是状态函数。Z由各个子系统组成的近独立系统，无论其子系统如何变化，子系统可以是系统中的各个部分；两相平衡系统中的各个相；也可以是系统的多组元中的任何一组元；系统组成的各个粒子或者粒子的任一自由度等，该系统的配分函数就是各个子系统配分函数相乘共同作用的结果。 比如：对于双原子分子来说，它有三个自由度：平动、转动、振动，那么它所组成的系统中，子系统就可以是它的这

13、三个自由度。根据以上我们可知，在双原子分子组成的系统中，其配分函数就应该是 ；对于理想所组成的系统，子系统可以认振转平 ZZ为是任何的一个单分子，那么理想气体系的统配分函数为 ；对于两相平衡系统，NCZ无论是固体和平衡气体或者液体和平衡气体，其系统的配分函数也是子系统相乘结果。固体和平衡气体所组成的系统的配分函数为 ，气体部分配分函数 ,固体部固气 气分配分函数 。固由此可见，配分函数 是反映了系统中的各个微观状态。在系统的宏观状态确定的情Z况下，影响配分函数的微观状态趋于稳定，可得配分函数的数值也是唯一的，所以配分函数 是状态函数。Z51.5 配分函数属于特性函数配分函数与系统的状态有着直接

14、的联系，对于一个系统，一旦其状态确定了，系统所对应的配分函数就是唯一确定的，相反，通过系统求得其配分函数，然后对系统的配分函数的对数求偏微商，可得到系统的全部基本的热力学函数，从而确定平衡态时系统的全部热力学性质。若已知配分函数就可得到：内能 nZNUl商丘师范学院学士学位毕业论文3压强 ZVNPln熵 .KSll综上所述可以知道，求得配分函数 就可以知道基本热力学函数内能、物态方程和熵，Z从而确定系统的全部平衡性质。因此 是以 、 （对于简单系统即 、 ）为变量的lnyTV特性函数。同时由马休定理可以知道，配分函数Z有特性函数的性质，正是配分函数能体现特性函数的这一性质，统计物理学的核心内容

15、利用配分函数这种特殊的性质来连接微观到宏观的桥梁。 62 配分函数的计算配分函数是搭架微观量和宏观量的桥梁，它是把统计物理量与热力学量有机地联系到一起，配分函数计算就非常重要了。由配分函数，可以求得物理学中的宏观量：内能的统计表达式： ,其中ZNeZNnUiiii ilnkT1广义力的表达式： ，其中 是广义坐标yyeYiiil当体系中只有广义体积参量时： VZNPln熵的统计表达式： kWUTSll10S取自由能的统计表达式：由 ,可以代入 的统计表达式得到SFU、ZNln吉布斯函数的统计表达式： ,可以代入 其统计表达式得到PVGP、kTl焓的统计表达式：可以由 ,然后代入 的统计表达式得

16、到UH、VZTNklnl如单原子的理想气体系统，组成系统的理想气体总分子数为 ，每一个单分子可以看成子N系统，组成近独立粒子的孤立系统，对于该系统其应该服从玻尔兹曼分布。此时设气体系统的体积为 ，并且理想气体分子是在没有外场宏观大小的容器里面自由的运动，能量的V商丘师范学院学士学位毕业论文4数值应该是准连续的，即 ，分子可能的微观状态数是 221zyxPm，将其代入到配分函数的定义式有3hdpdxyzzyxL zyxPmi dpdzeheZzyxi 2231= Vxpdxyz32323233hmh为 气 体 体 积Vdxyz于是理想气体系统中的基本热力学函数为NkThmNZU23lnln2VV

17、P32ll 2ln12lnllnl hmkNkTNkZNkS 统计物理所的结果与实验一致，恰好的反映理论的正确性。综上可以知，对于一个热力学系统所有的热力学的宏观量都可以由配分函数 来表示，Z也就是通过配分函数就可以确定系统中平衡态时的全部热力学的宏观性质，然后可以实现从复杂的统计物理微观量到一般的热力学的宏观量有机联接，架起从微观到宏观坚实的桥梁。从这个角度来看，具备特性函数特征的配分函数 ，涵盖了微观的粒子体系中统计信Z息的核心部分，可以将它所在体系的其它性质有效的表达出来，其物理价值的重要性不言而喻 。72.1 统计系综的几率分布与配分函数设有大量结构完全相同的系统，处在完全系统的宏观条

18、件下，我们把这大量系统的集合称作为统计系综。下面将列出来几种常见的系综几率分布和系统的配分函 。8数微正则系综 正则系综 巨正则系综 TP系综系统特点孤立系统 闭口系统 开口系统 闭口系统商丘师范学院学士学位毕业论文5约束条件 不变NVE,不变,不变,V不变N,几率分布CrP Ere EsNrrsCePVrEse配分函数1,rkTVZexp,0,NTVZfkTPVexp,热力学关系NVEkS,lnVTZkF,ln,fkPJ,ln,NPkG,说明 T1T2.2 近独立系统的配分函数对于配分函数来说，由于整个系统的量子态是很难确定，因此进行具体的计算就非常困难。若会对系统进行适当的合理的近似，从而

19、可简便配分函数的计算。2.2.1 近独立系统的经典统计所谓经典统计就是讲粒子看做成全通可分辨的质点，并且粒子的运动将会服从经典力学的规律统计。可得含有 个全通粒子的系统的正则配分函数为：NNzZ其中 （式子中 表示粒子处于第 个量子态时其所具有的能量）表示单粒子ssezss的正则配分函数。2.2.2 近独立系统的量子统计量子统计就是指的组成系统的所有粒子服从于量子力学规律的统计。然而在量子力学中，全同粒子系统的波函数，必须满足对称性的要求，也就是对称，或者是反对称。满足对称波函数的系统，在任何一个量子态上分布的粒子数将不会受到限制；满足反对称波函数的系统，将在任何一量子态上粒子最多只能容纳一个

20、，这就会导致不同的量子统计分布。麦克斯韦玻尔兹曼统计是近独立可分辨的全同粒子的统计。此系统的配分函数为RnMBeZ.21式子中的求和就是对系统中各个可能的量子态求和， 指的是单粒子的能级，.,21是指的各个能级上的粒子数。.,21n商丘师范学院学士学位毕业论文6由上面式子可以得到：.,321212!.nnMBeNZ2121.3!.nneNZe.2其中 属于单个粒子的配分函数rreZ光子系统的配分函数光子气体中的粒子数为 属于个变量，在温度和体积一定的情况下，处于热平衡状态的光N子气体就会具有某个统计平均的粒子 ,在这种的情况下，光子气体的配分函数就是：RneZ.21.2121.nn.22110nne.21则 rreZlnl其中 就是指的单个光子第 个能级上的能量。r玻色系统中的配分函数玻色-爱因斯坦（简称 ）统计是在计算光子分布概率的基础上发展起来的，所考虑BE的是不可分辨粒子在每一能级容纳的粒子数不受限制情况下的排列组合方法,即 个粒子在in统计权重为 的能级 上的排列组合方法。igi在普遍情况下任何一能级分布的微观状态：!1!, iiiiBEi ngngW而各能级分布或者一种分配方式的微观状态数：iiiiBEBE!,