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1、工 程 力 学,主讲 杨 军,高 等 院 校 力 学 教 程,课程简介,工程力学,前三章内容学习指导,如何用约束反力等效替换约束 正确画出研究对象的受力分析图牢记力的平移定理牢记合力矩定理什么是约束 约束的种类及画法非常熟练的应用力的平衡方程,刚体和力的概念,刚体:在力的作用下，其物体内部任意两点之间的距离始终保持不变刚体是静力学中对物体进行分析所简化的力学模型力是物体间的相互机械作用. 力对物体作用效应外效应：使物体的运动状态发生改变；内效应：使物体的形状发生改变 力的三要素：力的大小、方向、作用线力的单位：牛顿（N）或千牛（kN）,11 力 力矩 力偶,力矩,力对物体的运动效应，包括力对物

2、体的移动和转动效应，其中力对物体的转动效应用力矩来度量。力矩是力对物体的转动效应的度量力矩的表示力矩的矩心、力臂大小、转向、作用面正负号规定右手螺旋法则量纲单位：牛顿.米N.m或千牛.米kN.m,力偶,定义: 两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶的表示法力偶矩大小正负规定：逆时针为正单位量纲：牛米N.m或千牛米kN.m,力偶的三要素 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面,力偶的基本性质,力偶的基本性质力偶无合力力偶中两个力对其作用面内任意一点之矩的代数和，等于该力偶的力偶矩力偶的可移动性：（保持转向和力偶矩不变）力偶的可改装性：（保持转向和力偶矩不变）力偶的等效平

3、面力偶系合成平衡,力对点的矩与力偶矩的区别：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。,不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改 变，但一个力偶的矩是常量。,联 系：力偶中的两个力对任一点的矩之和是 常量，等于力偶矩。,公理一：力的平行四边形公理 作用在物体上同一点的两个力可以合成为一个力，合力的作用点仍作用在这一点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。 矢量表示法：FR=F1+F2,12 静力学公理,静力学公理二、三,公理二：二力平衡公理 作用于刚体上的两个力使刚体平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反、作用线重合。矢量表示法：F1=F2；,推论 (三力汇交

4、定理) 当刚体在三个力作用下平衡时，设其中两力的作用线相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。,F1,F3,R1,F2,=,证明：,A3,公理三：加减平衡力系公理 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。,推论 (力在刚体上的可传性),作用于刚体的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用,=,=,静力学公理四、五,公理四：作用于反作用公理 任何两个物体相互的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一条直线，分别作用在这两个物体公理五：刚化原理 若变形体在某一力系作用下平衡，则可将此受力的变形体视为刚体，

5、其平衡状态仍保持不变。,反力 : 沿着绳索背离物体,2 . 光滑支承面 :,反力 : 沿着支承面的公法线指向物体,3 . 固定铰链支座：,反力 : 若被铰物体不是二力杆则正交分解,1 . 柔索 （绳子、皮带、链条等）:,若铰链的两部分都是活动的，则称为中间铰，两部分互为约束。拆开铰链时，一部分对另一部分的约束同固定铰链支座。,13 约束和约束反力,约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体是向点而来的力。,2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计),4 . 滚动支座 :,反力 :沿着支承面的公法线方向,1)向心颈轴承 :,3)球轴承 :,5 . 轴承 :,2)止推轴承 :,反力:垂直于轴

6、向两正交分力,反力:正交三分力,反力:正交三分力,FR,滑槽与销钉,固定铰支座,链杆约束,RA,光滑向心颈轴承,活页铰(蝶形铰)约束,固定端(插入端)约束,A,A,固定铰支座的几种表示:,滚动铰支座（辊轴支座）的几种表示:,14 受力分析和受力图,画受力图的方法与步骤：1、取分离体（研究对象）2、画出研究对象所受的全部主动力（使物体产生 运动或运动趋势的力）3、在存在约束的地方，按约束类型逐一画出约束 反力（研究对象与周围物体的连接关系）,受 力 分 析 示 例 (1),W,FRB,FRA,画受力图步骤：,1.取 隔 离 体,2.画主动力,3.画约束反力,受 力 分 析 示 例 (2),1.取

7、 隔 离 体,3.画约束反力,2.画主动力,画受力图步骤：,受 力 分 析 示 例 (3),1.取 隔 离 体,3.画约束反力,2.画主动力,对整体 画受力图步骤：,作业要求: 思考题为必做题,第一章思考题1-11-10 习题 1-1(d) 1-3(4)(5)(6) 1-4,合成的几何法：,表达式：,F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：,21 平面汇交力系合成与平衡,把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。,力的多边形规则：,空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难

8、。,1、共点力系的合成结果,该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。,共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。,矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn,2、共点力系平衡的充要几何条件：,反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：,力在坐标轴上的投影：,结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。,合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。,证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3 如图。,合力投影定理：,合

9、力 R 在x 轴上投影：,F1,F2,R,F3,x,A,B,C,D,(b),推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点力系，可得：,各力在x 轴上投影：, 合力的大小,合力R 的方向余弦,根据合力投影定理得,共点力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。,平面共点力系的平衡方程:,例题 2-1已知各分力的大小及方向,求其合力的大小及方向. 解:,用解析法求图示平面汇交力系的合力,解：,FR,解：1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。,2. 画出受力图（b)。,例题 2-2 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水

10、平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B (图(a) )。不计铰车的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。,3. 列出平衡方程：,4. 联立求解，得,反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。,一、 力偶和力偶矩,1、力偶大小相等的二反向平行力。,、作用效果：引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素。,力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。,力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。,22 平面力偶系的合成与平衡,2、力偶臂力偶中两个力的作用线 之间的距离。,3、力偶矩力偶中任何一个力的大 小与

11、力偶臂d 的乘积，加上 适当的正负号。,力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。,量纲：力长度，牛顿米（Nm）.,二、力偶的等效条件,1. 同一平面上力偶的等效条件,因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。,作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。,2. 平行平面内力偶的等效条件,空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。,1、概念： 用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。2、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。 (3)、力偶作用面的方位。3、符号：M,三、力偶矩矢,右手规则,4、力偶矩矢

12、与力矢的区别力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。M 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。5、力偶等效定理又可陈述为:力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。,平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和等于零。 M=M,力的平移定理,作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点，但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。,M=?,M=+Fd,23 平面任意力系向作用面内一点简化,几个性质：1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和

13、原力大小相等的平行力。3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。,=,=,应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。,力系向给定点O 的简化,共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。,附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。,结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，

14、是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。,推广：,平面任意力系对简化中心O 的简化结果,主矩：,主矢：,几点说明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。,方向余弦：,2、主矩Mo可由下式计算：,主矢、主矩的求法：,1、主矢可用力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。,=,=,1、R=0，而MO0，原力系合成为力偶。这时力系主矩MO 不随简化中心位置而变。2、MO=0，而R0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。3、R0，MO0，原力系简化成一个力偶和一

15、个作用于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：,简化结果的讨论,综上所述，可见：,4、 R=0，而 MO=0，原力系平衡。,、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。 、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。,平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。,合力矩定理,A,B,q,x,例 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。,在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为qdx，其中q 为该处的载荷集度 ，由相似三角形

16、关系可知,x,A,B,q,x,dx,h,l,F,因此分布载荷的合力大小,解：,设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有,将q 和 F 的值代入上式，得,x,A,B,q,x,dx,h,l,F,平衡方程其他形式：,注意:A、B 两点的连线不能和x 轴相垂直。,注意: A、B、C 三点不能共线。,平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也等于零。平衡方程：,2.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,解：1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图，其中Q=q.AB=1003=300N；作用在AB的中点C 。,例题 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载

17、荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固定铰支A 的反力。,3、列平衡方程：,4、联立求解： FD= 475 N FAx= 0 fAy= -175 N,一、几个概念：1、物体系 由若干个物体通过约束组成的系统2、外 力 物体系以外任何物体作用于该系统的力3、内 力物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目： 由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。,物体系的静定与超静定问题的概念,三、静定与超静定概念： 1、静定问题 当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。,2、超静定问题 当系统

18、中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。,设一物系由 n 个物体构成,则每个物体可列出3个独立的平衡方程,整个物系则可列出3n个平衡方程,也即可解出3n个未知量.若物系的未知量多于3n个,则为超静定系统.本章不讨论超静定系统. 内约束力是成对出现的,作用力与反作用力的关系应予考虑.,物系: 由若干个物体所组成的物体系统,内约束, 内力, 外力,物系平衡时,构成物系的每一个物体都必然平衡.,2.5 物系的平衡:,解决物系的平衡问题的基本方法是将物系拆开成若干个单个物体,对每个物体列平衡方程,联立求解.,解题须知: 对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整

19、体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的哪一部分，不应先整体研究。 拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。 拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。 对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。 定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起考虑。 根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。 取

20、矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。,MA,B,M,q,A,解：先以BC为研究对象，做受力图,列平衡方程,Fbx=0,Fby+FC-ql=0,FCl-ql2/2=0,Fax-Fbx=0,Fay-Fby=0,MA+M-Fbyl=0,联立求解即可。,B,C,FC,Fby,Fbx,B,A,Fbx,Fby,Fax,Fay,再研究AB：（或整体ABC）,例2:梁如图所示，求A、B、C三处的反力。,解:先拆开BC:,再整体:,解：1、取AC 段研究，受力分析如图。,例3:三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C 连接起来，又用铰链A、B 与基础相联结。已知每段重G=40 k

21、N，重心分别在D、E 处，且桥面受一集中载荷P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。,列平衡方程：,2、再取BC 段研究，受力分析如图。,列平衡方程：,联立求解：可得 NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN NAy= 42.5 kN NBy= 47.5 kN NCy= 2.5 kN,NCx 和 NCx、 NCy 和 NCy是二对作用与反作用力。,2.6 考虑摩擦时的平衡问题,摩擦,滑动摩擦,滚动摩擦,静滑动摩擦,动滑动摩擦,一. 静滑动摩擦定律,摩擦力F: 方向: 恒与物体相对滑动的 趋势方向相反,大小: 一般状态下由平衡方程确定,当物体

22、处于将动未动的临界状态 时,由静滑动摩擦定律计算.,Fmax=Nf,N:法相反力f:静滑动摩擦系数,为常数,由材料决定,1 滑动摩擦,利用摩擦角测定摩擦系数,因此, 0 F Fmax,作用位置: 作用在两物体的接触面上沿公切线,二. 动滑动摩擦定律,F =N f ,N:法相反力f :动滑动摩擦系数,为常数,由材料决定,f f,2. 带有摩擦的平衡问题,带有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同,只是在分析受力时要考虑摩擦力,并正确地判断出摩擦力的方向,考虑临界状态并补充摩擦定律.其结果往往有一个范围.,例: 重为G的物体放在倾角为的斜面上,今在该物体上作用一水平力Q,问能使该物体保持

23、平衡时Q的范围.已知 f=0.5.,解: 解除约束,作受力图 考察该物体可能的运动趋势,分别考虑每一运动趋势,画出对应的摩擦力, 建立适当的坐标系,列平衡方程.,N,F1,F2,G,若不告诉物体的尺寸,则属汇交力系,否则属于一般力系. 在临界状态并补充摩擦定律 Fmax=Nf 将各种趋势的结果比较分析,得出待求的范围.,(1). 下滑时:摩擦力朝上,Qcos+F-Gsin=0,-Qsin+N-Gcos=0,Fmax=Nf,Q1=G(sin-fcos)/(cos+fsin),(2). 上滑时:摩擦力朝下,Q2=G(sin+fcos)/(cos-fsin), Q1 Q Q2,F,R,3 . 摩擦角

24、与自锁现象,全反力: R = N + F,由于 0 F Fmax N R N+ Fmax,把全反力的最大值Rmax与法线N间的夹角max称为摩擦角,用表示,max,max,由图可知:,可见,摩擦角与摩擦系数f 一样也是表示材料表面性质的一个常量.,当物体的滑动趋势方向改变时,全约束反力作用线的方位也随之改变,当物体在支承面内有各个方向滑动的趋势时,则全反力的最大值Rmax作用线将画出一个以接触点为顶点的圆锥面-摩擦锥,1.摩擦角,摩擦锥的顶角为 2 max,由于F不可能超过最大值,所以,全反力R的作用线也不可能超出摩擦角以外,即.物体平衡时,全反力R必在摩擦角以内.,因此 : 如果作用于物体上

25、的主动力的合力作用线落在摩擦角以内,则不论这个力多么大, 物体都能够平衡; 这种现象称为自锁现象.,反之如果主动力的合力作用线落在摩擦角以外,则不论这个力多么小, 物体都不能够平衡.,(可用二力平衡原理解释),摩擦角的概念被广泛的使用: (1) 摩擦系数的测定 (2) 螺旋千斤顶的自锁条件 (3) 沙堆成型的过程,概念题：图示物快重G，一力P作用在摩擦角m之外，已知=300，m=200，G=P，问物快能否保持平衡？为什么？,答：能，因为主动力P、G的合力作用线落在摩擦角之内,概念题： 长方形均质块尺寸如图，放在斜面上，当增加到m ( ) 时处于临界状态，求此时静滑动摩擦系数 f 及 b/a 的

26、范围。,解:,练习题：图示结构在力偶 M=pl 的作用下处于临界状态，求C处静滑动摩擦系数 f 及 A处的反力。杆自重不计。,解：BC为二力杆,练习题： 无重杆AB搁在不计自重的圆柱体上，求不论P多大都不能使圆柱被挤出的各接触面的摩擦角，表成与的关系。,练习题：两根同重等长的均质杆在B点绞接，C点靠在墙上，f=0.5，求平衡时的角=?,解:研究整体， 分析受力:,再研究BC， 分析受力:,练习题：图示折梯，两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？,BC为二力杆，受力如图，由平衡方程：,解：先整体：,能平衡， FA=

27、 FB=72.17N。,练习题：一扇形摇椅底腿半径为r，顶角600，重Q=100N，重心在C点，OC=r/2，在O点加水平力P并逐渐增加，问摇椅是先滑动还是先翻倒？就f=0.2和0.3两种情况考虑；若先滑动，OC与铅直成何角度？若先翻倒，此时F=？,解：依题意画图，,D,f =0.2时:,此种情况下，先滑动.,f =0.3时:,当=300时，摇椅处于将翻未翻的临界状态；图示结构不可能超过300，所以此种情况下，先翻倒。此时：,练习题：图示折梯，两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？,BC为二力杆，受力如图，由平衡

28、方程：,解：先整体：,能平衡， FA= FB=72.17N。,例: 图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。,解方程可得,d,A,x,y,a,O,B,b,FB,FA,取推杆为研究对象，受力分析如图。,解:,列平衡方程,补充方程,代入式 (c) 解得,解：,取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩擦力和法向反力分别合成为全约束反力FRA和FRB。这样一来，推杆受F，FRA和FRB三个力作用。,图解法,用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并自A，B两点各作与水平线成夹角f （摩擦角）的直线，两线交于C点，如图所示。

29、C点至推杆中心线的距离即为所求的临界值alim，可用比例尺从图上量出。,或按下式计算，得,A,x,y,a,O,B,C,b,a极限,F,f,f,FRA,FRB,第二章思考题2-12-10 习题 单号题,思考题为必做题,O,Fx= X=Fcos,F,x,第3章 空间力系,z,y,二.力在空间直角坐标轴上的投影,Fy= Y=Fcos,Fz= Z=Fcos,二次投影法:,Fx= X=Fsincos,Fy= Y=Fsinsin,Fz= Z=Fcos,一.力在空间的表示:,各力的作用线在空间任意分布且交于同一点.,31 空间中的力、力矩与力偶,三.力沿空间直角坐标轴的分解,Fx=Xi,Fy=Yj,Fz=Z

30、k,F=Xi+ Yj + Zk,四.空间汇交力系的合成,空间汇交力系用几何法合成并不方便,因为空间几何图形不易表示. 所以常用解析法.,将空间汇交力系的各力分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,根据矢量投影法则,合力在某轴上的投影等于各个分力在该轴上投影的代数和:,Rx= X,Ry= Y,Rz= Z,Fxy,R= Fi,合力投影定理:,五.空间汇交力系的平衡条件,例:等长杆BD、CD铰接于D点并用细绳固定在墙上A点而位于水平面内，D点挂一重G的物块，不计杆重，求杆及绳的约束反力。,T,-Tsin300cos450-SCD=0,-Tsin300sin450-SBD=0,Tcos300-G=0,SB

31、D,SCD,解：研究力的汇交点D（空间力系不用取隔离体） 画受力图,各力偶在空间任意分布 空间力偶系,一.空间力偶的等效条件(对平面力偶的性质进一步扩展),作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶,若其力偶矩大小相等,转向相同,则两力偶等效.即:空间力偶可以向平行平面内搬动.,F=2F1,利用两个反向平行力的合成结论,F2,F2,二.空间力偶的矢量表示,m,矢量的长度表示力偶矩的大小,矢量的指向与力偶的转向成右手系, 矢量的方位于力偶作用平面垂直.,力偶矩矢为自由矢量,与作用位置无关,既可以在同平面内移动,又可在平行平面内搬动.,空间力偶的等效条件: 两力偶矩矢相等.,三.空间力偶系的合成与平衡

32、条件,m2,M,合力偶矩矢 M=mi,合力偶投影定理: 将空间力偶系的各力偶矢分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,根据矢量投影法则,合矢量在某轴上的投影等于各个分矢量在该轴上投影的代数和:,Mx= mx,My= my,Mz= mz,空间力偶系的平衡条件:,M=0,空间力偶系的平衡方程:,z,Fz,Fxy,Fy,F,Fx,y,力F使物体绕z轴转动的效应称为力对轴之矩,记为:,mz(F)=FxOA =Fxyh,o,A,h,x,B,显然:力与轴平行,无矩 力与轴相交,无矩,即: 力与轴位于同一 平面内时,无矩,合力矩定理:,mz(R)=mz(Fi),r,力对轴之矩的解析式:,F,d,X,F,m0(

33、F)= rF,Y,Z,mx(F)=,yZ - zY,mY(F)=,zX - xZ,mz(F)=,xY- yX,4.空间力对点的矩矢,.A(x,y,z),矢量的长度表示力矩的大小,矢量的指向与力矩的转向成右手系, 矢量的方位于力矩作用平面垂直.,定位矢量,与作用位置有关.,m0( F),力对点矩矢的解析式,F=Xi+Yj+Zk,r=xi+yj+zk,m0( F)= rF = (yZ - Zy) i+ (zX - xZ) j +(xY- yX)k,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩.,空间一般力系: 各力的作用线在空间任意分布.,一.空间一般力系向一点简化,33 空间任意力系,.

34、O,主矢 R=F 与简化中心位置无关,主矩 M0=m= mo(Fi) 与简化中心位置有关,二.简化结果讨论,合力矩定理(略),例:重为G的均质正方形板置于水平面内,求球铰链O和蝶铰链A处的反力及绳的拉力.,T,解:研究板,分析受力,G,ZA,XA,XO,YO,ZO,XO -Tsin300cos450+XA=0,YO-Tsin300sin450=0,ZO-G+Tcos300+ZA=0,-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0,Gb/2-Tcos300b=0,XA=0,空间平行力系: 作用点任意分布,方位彼此平行,0=0,让 z / Fi,0=0,z=0,mx=0,my=0,0=0,空间平行力系的

35、平衡方程为:,S,空间一般力系平衡方程的其他形式,前面我们讨论了空间一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空间一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。 三矩式是必要充分条件，而其他形式是必要不充分条件，要使其充分必须附加一定的条件，而我们所遇到的题目都是平衡的，所以只需必要条件即可。不必考虑附加条件。,即：解题时，可以对任意直线取矩。但应向尽可能多的力的平行和相交的直线取矩，以减少方程中未知量的数目。,例：水平均质正方形板重P，用六根直杆支撑如图，求各杆内力。,解：研究板，作受力图,P,S,S,S,S,S,ms1=0,S6=0,ms3=0,S4=0,ms5=0

36、,S2=0,mAC=0,S3=0,mAB=0,S5= -P/2,Z=0,S5= S1= -P/2,例:已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？,解：选轮轴为研究对象； 受力分析如图,由：,例：水平轴AB上分别固结半径为100cm和10cm的两圆轮，并在切线方向受力P和Q，已知P=10kN，求平衡时Q=？；A、B两轴处的反力分别为多少？,解：受力如图：,例：图示机构，在踏板C上作用一铅直力P=1000N，与作用在曲杆上的水平力T相平衡，求轴承A、B两处的反力。,解：机构受力如图：,例

37、: 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？,由C点：,解：分别研究C点和B点作受力图,由B点：,例:曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?,此题课堂练习：, 力偶不出现在投影式中；, 力偶在力矩方程中出现，是把力偶当成矢量后，再在坐标轴上投影；, 力争一个方程求解一个未知量；, 了解空间支座反力画法。,解：,例:已知：AB杆, AD,CB为绳索, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC 铅直。求平衡时，TA，TB及支座A

38、、B的反力。,解：思路：要合理选取投影轴和矩轴，使一个方程解出一个未知量。,.平行力系中心,重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动力学问题有关。,重心的位置实际上是重力的合力作用点。严格的讲，构成物体的每一微块都受到一铅直指向地心的引力重力，这些力组成一汇交力系，交点在地心。但地面上的物体的尺寸与地球的半径相比又非常小，即使长30m的物体平放在地面上，其两端重力的作用线的夹角也小于1。因此将这些重力视为相互平行是足够准确的。所以，重心的位置就是平行力系的合力作用点平行力系中心。,F1,F3,F2,F12,C1,R,C,F12= F1+ F2,R= F12+ F3=F,34 重心,结论:平行

39、力系中,合力作用点C的位置只与各平行力的作用点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关.点C称为该平行力系的中心.,RyC=F1y1+ F2y2+Fnyn = Fiyi,而 R=F,重量 P=p,重心C: 重力的合力P的作用点,物体的重心在物体内占有确定的位置,而与该物体在空间的位置无关.,设i为物体单位体积的重量,则: pi= i vi,对于连续体,n,体积重心:,设i为物体单位面积的重量,则: pi= i si, 对于连续体,n,面积重心:,线重心:,除公式法外,以下方法也常用来确定重心:.利用对称性求重心,凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必在其对称面、轴、中心上。,例：球体、

40、立方体、等腰三角形等。,.组合法 1）.分割法: 将整个物体分割成若干个简单形体,在一个坐标系下标出各简单形体的重心位置坐标,直接代如公式即可.,2). 负面积法: 若物体内缺一部分,则视缺少部分的面积(体积)为负值,仍同分割法一样代如公式.,.实验法 1). 悬挂法: 2). 称重法:,C,例: 已知：Z 形截面，尺寸如图。,求：该截面的重心位置。,解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。,解 ：(2)负面积法: Z 形截面可视为由面积为S1的大矩形和面积分别为S2及S3的小矩形三部分组成， S2及S3是应去掉的部分，面积为负值。,第三章思考题3-13-7 习题 单号题,