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1、平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形 ABCD 的顶点分别为 A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点 P(0，2)。作点 P 关于点 A 的对称点 p1，作 p1 关于点 B 的对称点 p2，作点 p2 关于点C 的对称点 p3，作 p3 关于点 D 的对称点 p4，作点 p4 关于点 A 的对称点 p5，作 p5 关于点 B的对称点 p6，按如此操作下去，则点 p2011 的坐标是多少？ 解法 1：对称点 P1、P2、P3、P4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 P1，P2，P3，P4 组成。第 1 周期点的坐标为：P1(2,

2、0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第 2 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第 3 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第 n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)20114=5023，所以点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同，为（2，0）解法 2：根据题意，P1（2，0） P2（0，2） P3（2，0） P4（0，2）。根据 p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，2），

3、P4n+3（2，0）。20114=5023，所以点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同，为（2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是 p 点。2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点 A4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点 Am 在 x 轴上，请用含 n 的代数式表示 m（n 是正整数）（4）指出蚂蚁从点 A2011 到点

4、A2012 的移动方向 （5）指出蚂蚁从点 A100 到点 A101 的移动方向（6）指出 A106，A201 的的坐标及方向。解法：（1）由图可知，A4，A12，A8 都在 x 轴上，小蚂蚁每次移动 1 个单位， OA4=2，OA8=4，OA12=6，A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1） （2）根据（1）OA4n=4n2=2n，点 A4n 的坐标（2n，0）；（3）只有下标为 4 的倍数或比 4n 小 1 的数在 x 轴上，O1 A1 A2A3 A4A5 A6A7 A8A9 A10A11 A12 xy点 Am 在 x 轴上，用含 n 的代数式表示为：

5、m=4n 或 m=4n-1；（4）20114=5023，从点 A2011 到点 A2012 的移动方向与从点 A3 到 A4 的方向一致，为向右（5）点 A100 中的 n 正好是 4 的倍数，所以点 A100 和 A101 的坐标分别是A100（50，0）和 A101（50，1），所以蚂蚁从点 A100 到 A101 的移动方向是从下向上。（6）方法 1：点 A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)第 2 周期点的坐标为：A1(2,1)

6、， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)第 3 周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)第 n 周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)1064=262，所以点 A106 坐标与第 27 周期点 A2 坐标相同,(227-1,1)，即(53,1)方向朝下。 2014=501，所以点 A201 坐标与第 51 周期点 A1 坐标相同,(251-2,1)，即(100,1)方向朝右。方法 2：由图示可知，在 x 轴上的点 A 的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=1

7、04+2，即点 A104 再移动两个单位后到达点 A106，A104 的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以 A106 的坐标为（53，1），方向朝下。同理：201=200+1，即点 A200 再移动一个单位后到达点 A201，A200 的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以 A201 的坐标为（100，1），方向朝右。3、一只跳蚤在第一象限及 x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0，0)(0，1) (1，1) （1，0），且每秒跳动一个单位，那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第 42、49、2011 秒所在点的坐标

8、及方向？解法 1：到达（1，1）点需要 2 秒到达（2，2）点需要 2+4 秒到达（3，3）点需要 2+4+6 秒到达（n，n）点需要 2+4+6+.+2n 秒n(n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。35=56+5，所以第 5*6=30 秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过 5 秒正好到（5,0）即第 35 秒在（5，0）处，方向向右。42=67，所以第 67=42 秒在（6，6）处，方向向左49=67+7，所以第 67=42 秒在（6，6）处，再向左移动 6 秒，向上移动一秒到（0，7）即第 49 秒在（0，7）处，方向向右解法 2：根据图

9、形可以找到如下规律，当 n 为奇数是 n2秒处在（0，n）处，且方向指向右； 当 n 为偶数时 n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第 35 秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第 42、49、2011 处的坐标及方向。4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x 轴或 y 轴平行从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，表示，顶点 A55 的坐标是（ ）解法 1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。观察图象，点 A1、A2、A3、A4

10、每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)第 2 周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)第 3 周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)第 n 周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)554=133，A55 坐标与第 14 周期点 A3 坐标相同,(14,14)，在同一象限解法 2：55=413+3，

11、A55 与 A3 在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=41-1，A3 的坐标为（1，1）， 7=42-1，A7 的坐标为（2，2），11=43-1，A11 的坐标为（3，3）； 55=414-1，A55（14，14）5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，n），如 f（2，1）=（2，1）；（2）g（m，n）=（m，n），如 g（2，1）=（2，1）按照以上变换有：fg（3，4）=f(3,4)=（3，4），那么 gf（3，2）等于（ ）解：f（3，2）=（3，2），gf（3，2）=g（3，2）=（3，2），6、在平面

12、直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：1、f（a，b）=（a，b）如：f（1，3）=（1，3）；2、g（a，b）=（b，a）如：g（1，3）=（3，1）；3、h（a，b）=（a，b）如：h（1，3）=（1，3）按照以上变换有：f(g(2,3)=f(-3，2）=(3,2)，那么 f(h(5,-3)等于（ ）（5，3）7、一质点 P 从距原点 1 个单位的 M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OM 的中点 M3处，第二次从 M3 跳到 OM3 的中点 M2 处，第三次从点 M2 跳到 OM2 的中点 M1 处，如此不断跳动下去，则第 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离

13、为（ ）解：由于 OM=1， 所有第一次跳动到 OM 的中点 M3 处时，OM3= OM= ，同理第二次从 M3点跳动到 M2 处，即在离原点的 2处，同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的 处8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根据这个规律，第 2012 个点的横坐标为（ ） 45 解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个，1=12，右下角的点的横坐标为 2 时，共有 4 个，4=22，右

14、下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个，9=32，右下角的点的横坐标为 4 时，共有 16 个，16=42，右下角的点的横坐标为 n 时，共有 n2 个，452=2025，45 是奇数，第 2025 个点是（45，0），第 2012 个点是（45，13），9、（2007遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探究可得，第 88 个点的坐标为 （ ） 解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。坐标系中的点有规律的按列排列，第 1 列有 1 个点

15、，第 2 列有 2 个点，第 3 列有 3 个点第 n 列有 n 个点。1+2+3+4+12=78，第 78 个点在第 12 列上，箭头常上。88=78+10，从第 78 个点开始再经过 10 个点，就是第 88 个点的坐标在第 13 列上，坐标为（13，13-10），即第 88 个点的坐标是（13，3）10、如图，已知 Al（1，0），A2（1，1），A3（1，1），A4（1，1），A5（2，1），则点 A2007 的坐标为 （ ） 解法 1：观察图象，点 A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(

16、1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)第 2 周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)第 3 周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)第 n 周期点的坐标为：A1(n,-(n-1)， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)因为 20074=5013，所以 A2007 的坐标与第 502 周期的点 A3 的坐标相同，即(-502,502)解法 2：由图形以可知各个点（除 A1 点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次

17、为 A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）A4n2（n，n）。因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是 2，6，10，14，即 4n2（n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值）；同理第二象限内点的下标是 4n1（n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值）；第三象限是 4n（n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值）；第四象限是 1+4n（n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值）；因为 20074=5013，所以 A2007 位于第二象限。2007=4n1 则 n=502， 故点 A2007 在第二象限的角平分线上，即坐标为（502，502）11、如图，一个机器人从 O 点出发，向正东方

18、向走 3 米到达 A1 点，再向正北方向走 6米到达 A2 点，再向正西方向走 9 米到达 A3 点，再向正南方向走 12 米到达 A4 点，再向正东方向走 15 米到达 A5 点、按如此规律走下去，当机器人走到 A6，A108 点 D 的坐标各是多少。解法 1：观察图象，点 A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-6,-6)第 2 周期点的坐标为：A1(9,-6)， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12)第 3

19、周期点的坐标为：A1(15,-12)， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18)第 n 周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6)，A2(6n-3,6n)， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n)因为 64=12，所以 A6 的坐标，与第 2 周期的点 A2 的坐标相同，即(9,12)因为 1084=27，所以 A108 的坐标与第 27 周期的点 A4 的坐标相同，(-627, -627)解法 2：根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到 A6 点时，A5A6=18 米，点 A6 的坐标是（9，12）；12、

20、（2013兰州）如图，在直角坐标系中，已知点 A（3，0）、B（0，4），对OAB 连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则2013 的直角顶点的坐标为 （ ） 解：点 A（3，0）、B（0，4），AB= =5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，20133=671，2013 的直角顶点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角顶点，67112=8052，2013 的直角顶点的坐标为（8052，0）12（2013聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点 A1（0

21、，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么点 A4n+1（n 为自然数）的坐标为 （ ） 解：由图可知，n=1 时，41+1=5，点 A5（2，1），n=2 时，42+1=9，点 A9（4，1），n=3 时，43+1=13，点 A13（6，1），所以，点 A4n+1（2n，1）13（2013湛江）如图，所有正三角形的一边平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1、A2、A3、A4表示，其中 A1A2与 x 轴、底边 A1A2 与 A4A5、A4A5 与 A7A8、均相距一个单位，求点 A3 和 A92 的坐标分别是多少，解法

22、 1：观察图象，点 A1、A2、A3、每 3 个点，图形为一个循环周期。根据计算 A3 的坐标是（0， 1）设每个周期均由点 A1，A2，A3，组成。第 1 周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0, 1)第 2 周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, )第 3 周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, +1)第 n 周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0, +n-2)，因为 33=1，所以 A3 的坐标与第 1 周期的点 A3 的坐标相同，即(0, 1)因为 923=302，所以

23、A92 的坐标与第 31 周期的点 A2 的坐标相同，即(31, -31)解法 2：A1A2A3 的边长为 2， A1A2A3 的高线为 2 = ，A1A2 与 x 轴相距 1 个单位， A3O= 1， A3 的坐标是（0， 1）；923=302， A92 是第 31 个等边三角形的初中第四象限的顶点，第 31 个等边三角形边长为 231=62，点 A92 的横坐标为 62=31，边 A1A2 与 A4A5、A4A5 与 A7A8、均相距一个单位，点 A92 的纵坐标为31，点 A92 的坐标为（31，31）14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从 O 点第一跳落到 A1（1，0），第

24、二跳落到 A2（1，2），第三跳落到 A3（4，2），第四跳落到 A4（4，6），第五跳落到 A5 _ 到达 A2n 后，要向_方向跳 _个单位落到 A2n+1解：蓝精灵从 O 点第一跳落到 A1（1，0），第二跳落到 A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到 A4（4，6），蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出：第五跳落到 A5（9，6），到达 A2n 后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到 A2n+117（2012莱芜）将正方形 ABCD 的各边按如图所示延长，从射线 AB 开始，分别在各射线上标记点 A1、A2、A3、，按此规律，点 A2012 在那

25、条射线上解：如图所示：点名称射线名称AB A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每 16 个点排列的位置一循环，因为 2012=16125+12，所以点 A2012 所在的射线和点 A12 所在的直线一样因为点 A2012 所在的射线是射线 AB，所以点 A2012 在射线 AB 上，故答案为：AB18、（2011钦州）如图，动点 P 在

26、平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第 2011 次运动后，动点 P 的坐标是 _ 解法 1：观察图象，每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 P1，P2，P3，P4 组成。第 1 周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0)第 2 周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0)第 3 周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0

27、)第 n 周期点的坐标为：P1(4n-3,1)， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0)因为 20114=5023，所以 P2011 的坐标与第 503 周期的点 P3 的坐标相同(5034-1, 2)，即（2011，2）解法 2、根据动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），第 4 次运动到点（4，0），第 5 次接着运动到点（5，1），横坐标为运动次数，经过第 2011 次运动后，动点 P 的横坐标为 2011，纵坐标为1，0，2，0，每 4 次一轮，

28、经过第 2011 次运动后，动点 P 的纵坐标为：20114=502 余 3，故纵坐标为四个数中第三个，即为 2，经过第 2011 次运动后，动点 P 的坐标是：（2011，2）19、将正整数按如图所示的规律排列下去若用有序实数对（n，m）表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如（4，3）表示实数 9，则（7，2）表示的实数是 _ 解：第 1 排的第一个数为 1，第 2 排的第一个数为 2，即 2=1+1第 3 排的第一个数为 4，即 4=1+1+2第 4 排的第一个数为 7，即 7=1+1+2+3第 n 排的第一个数为 1+1+2+3+n-1=1+n（n-1）/2将 7 带入上式得 1+n（

29、n-1）/2=1+73=22，所以第七排的第二个数是 23，即（7，2）表示的实数是 23.20、（2011锦州）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点 A 第一次跳动至点A1（1，1），第四次向右跳动 5 个单位至点 A4（3，2），依此规律跳动下去，点 A第 100 次跳动至点 A100 的坐标是 （ ）。点 A 第 103 次跳动至点 A103 的坐标是 （ ）解法 1：观察图象，点 A1、A2 每 2 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(-1,1)， A2(2,1)第 2 周期点的坐标为：A1(-2,2)， A2(3,2)

30、 第 3 周期点的坐标为：A1(-3,3)， A2(4,3)第 n 周期点的坐标为：A1(-n,n)， A2(n+1,n)， 因为 1032=511，所以 P2011 的坐标与第 52 周期的点 A1 的坐标相同，即（-52，52）解法 2：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上 1，纵坐标是次数的一半，即第 n 次跳至点的坐标为1, 2n第 2 次跳动至点的坐标是A2（2，1），第 4 次跳动至点的坐标是 A4（3，2），第 6 次跳动至点的坐标是 A6（4，3），第 8 次跳动至点的坐标是 A8（5，4），第 n 次跳动至点的坐标是 An1, 2n，第 100 次跳

31、动至点的坐标是（51，50）（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上 1 的一半，纵坐标是横坐标的相反数，即第 n次跳动至点 An的坐标为1, 2n第 1 次跳动至点的坐标是 A1（-1，1），第 3 次跳动至点的坐标是 A3（-2，2），第 5 次跳动至点的坐标是 A5（-3，3），第 7 次跳动至点的坐标是 A7（-4，4），第 n 次跳动至点的坐标是1, 2n，第 103 次跳动至点的坐标是（-52，52）21、（2008泰安）如图，将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，点 P 依次落在点 P1，P2，P3P2008 的位置，则点 P2008, P2007 的横坐标分别为为( )（ ）