机械工程控制基础-05控制系统的频域分析.ppt

1、此课件除了PPT内容，课件下方附带的备注里讲解内容更细致：备注里有很多案例可以帮助理解；备注里有很多重点、难点内容的详细讲解；备注里有很多易错、易误导内容的讲解。,机电工程控制基础,河北工程大学机械与装备工程学院周雁冰,第五章 控制系统的频域分析,5.1 频率特性概述5.2 频率特性的极坐标（Nyquist）图描述5.3 频率特性的对数坐标（Bode）图描述5.4 控制系统闭环频率特性的Bode图,频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。,时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃（或脉冲）输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。,频域分析：通过系统在不同频率的谐波（如一簇正弦波）输

2、入作用下的稳态响应来研究系统的性能。,1、 时域分析的缺陷,高阶系统的分析难以进行；,难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；,当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。,2、频域分析的目的,频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。,无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；,易于实验分析；,优点：,可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；,可方便设计出能有效抑制噪声的系统。,一、频率响应与频率特性,5.1 频率特性概述,频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳

3、态正弦输出响应称为频率响应。,为了说明频率响应，先看一个RC电路，如图所示。电路的传递函数为,式中， T=RC为电路的时间常数。,若给电路输人一个振幅为X、频率为的正弦信号，即：,当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为,对上式取拉氏反变换，得输出信号时域解为,上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当 时，第一项趋于0，电路稳态输出为,式中， 为输出电压的振幅； 为 与 之间的相位差。,可见，R-C电路在正弦信号作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值的 倍，相位则滞后了 。,上述结论具有普遍意义。事实上，一般线性系统(或元件)

4、输人正弦信号 的情况下，系统的稳态输出（即频率响应） 也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相位不一样。,对输出、输入正弦信号的幅值比 和相位差 作进一步研究不难发现，在系统结构参数给定的时，A和 仅是 的函数（即输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化），它们反映出线性系统在不同频率下的特性，分别称为幅频特性和相频特性，分别以 和 表示。,总结：,频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦响应。,频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率变化而变化(由0变到)的特性，包括幅频特性和相频特性两部分，记作 或 。,幅频特性：当频率由0到变化时，其稳

5、态输出（频率响应）的幅值与输入信号的幅值比，记为 。,相频特性：当频率由0到变化时，输出信号与输入信号的相位之差，记为()。,考虑线性定常系统：,若系统稳定，其特征根为 si ，在零初始状态下，当正弦输入 xi(t)=Xisint 时，假设系统只具有不同的极点，则相应的输出为：,二、频率特性与传递函数的关系,Ai(i = 1, 2, , n)为待定常数。,利用拉式反变换，从而：,对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大时都趋近于零。,因此，系统的稳态响应为：,其中：,已知：,因此：,因 ，所以 为系统的频率特性，而 可直接将 中的s以 代之而得到。这就说明了传递函数与频率特性之间的关系。,上

6、述推导表明，线性系统在正弦信号作用下，其输出量的稳态分量的频率与输入信号相同，其幅值 ，相位差为 ，即 ， 。,法一：由频率响应求频率特性（定义法）,法二：由传递函数求频率特性（j 替代法）,解：,对于正弦输入xi(t)=Xisint ，根据频率特性的定义：,频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；,()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。,三、频率特性表示方法,1、代数式,式中： 为实频特性， 为虚频特性。幅频特性相频特性,2、三角函数式,3、极坐标式,4、复指数式,解析表示,图示法: Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图) Bode图(对数坐

7、标图，对数频率特性图),四、频率特性的特点,1、频率特性是系统单位脉冲函数(t)的Fourier变换。,3、许多情况下，频域分析法比时域分析法容易 。,2、时域分析针对过渡过程，频域分析针对稳态响应。,4、对于高阶系统，频域分析法比时域分析法容易 。,5、在设计系统时，频域分析法有利于抑制噪声。,一、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图）,5.2 频率特性的极坐标（Nyquist）图描述,幅相频率特性是在 复平面上研究的，当从0到+变化时，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线，得到的图形称为系统的奈（耐、乃）奎（魁）斯特图（Nyquist曲线）或极坐标

8、图。它一方面表示了幅值与频率、相位与频率的关系特性，同时也表示了实频和虚频的变化特性。,注意，由系统的频率特性计算相频特性时，首先要计算系统的实频特性和虚频特性，然后估计系统的奈奎斯特图在哪些象限：如在第一、四象限（对应反正切值域），则可利用()式进行计算，如奈奎斯特图在其它象限，则应将()式180 。,其中，U()、V()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然幅频特性、相频特性为：,1、比例环节,二、典型环节的奈奎斯特图,传递函数：G(s) = K,频率特性：G(j) = Kej0= K,实频特性：U() = K,虚频特性：V() = 0,幅频特性：A() = K,相频特性：() = 0,2

9、、积分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,3、微分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,5、一阶微分环节（导前环节）,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,6、振荡环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,当 = 0时，,当 = n时，,当 = 时，,幅频特性：,相频特性：,？,谐振现象,由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在 = n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值

10、Mr 对应的频率r 称为谐振频率。,由于：,所以：,解得：,即：,显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,7、 二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：, = 0时，, = 1/T时，, = 时，, n= 1/T,当三条曲线的频率特性中T相同、 不同时，比较三者的n大小及 大小？,8、延时环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,三、奈奎斯特图的绘制,（一）系统开环Nyquist图绘制的基本步骤：,1、由G(s)写出U()、V()，由U、V的表达式估算曲线在哪些象限，再写出A()、 ()；

11、若G(s)太复杂（二个以上经典环节串联），则应： （1）将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：,（2）求系统的频率特性：,即：,2、算出起、终点的A 、U、V ，再令U() =0、V() =0算出曲线与坐标轴的交点的A、 （至少26个特殊点）；,3、依据U()、V()的表达式估算出的曲线在哪些象限，同时依据特殊点的坐标，画出曲线。,解：,估计曲线位于第二、三象限。,0： A(0),： A()0,(0)90,()270,解得：,绘制系统开环Nyquist图为:,由于估计的耐氏曲线位于第二、三象限，因此曲线必过负虚半轴，即,U()-7,考虑如下系统：,（二）系统开环Nyquist图绘制的规律

12、：,的m次方,的n次方,开环幅相曲线的起点 完全由 确定，而终点 则由 来确定。,起点仅和K、v有关。,终点仅和m、n有关。,0型系统（v = 0）,0： A(0)K,： A()0,(0)0,()(nm)90,I型系统（v = 1）,0：,：,(0)90,()(nm)90,A()0,A(0),II型系统（v = 2）,此规律仅适合分析耐氏曲线的起终点位置，若要绘制整个曲线，则应计算出更多特殊点位置。,n-m=1,开环含有v(v1)个积分环节系统，Nyquist曲线起始于幅角为v90的无穷远处。（下图左）,n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为(nm)90。（下图右）,一、伯德(

13、Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）,5.3 频率特性的对数坐标（Bode）图描述,伯德图包含两部分图：对数幅频特性图、对数相频特性图。通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。,对数幅频特性图,横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率，单位：rad/s或Hz。通常也采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为dec，它们也用作频率变化的单位。（注意，横坐标无始无终。）,纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20倍，即：L()=20lgA() ，单位：分贝（dB）。,特别地，当L()=0，输出幅值输入

14、幅值；当L()0时，输出幅值输入幅值(放大)；当L()0时，输出幅值输入幅值(衰减)。,Bode图是在半对数坐标系上绘制出来的。横坐标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。,对数幅值图的曲线中，常用 dB/dec 这种单位。,对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,纵坐标：线性分度，频率特性的相角()，单位： 度(),对数幅频特性图与对数相频特性图合起来称为频率特性的对数坐标图，又称波（伯）德（Bode）图。为了方便直观比较，通常这两张图上下对齐排列。,对数坐标的优点：,幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；,对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围（低频拉伸，高频压缩）；,两系统或

15、环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，对数相频特性曲线关于零度线对称；,可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；,可分别作出各典型环节的波德图，再用叠加的方法得出系统总的波德图，之后易知各环节对系统总特性的影响；,1、比例环节,二、典型环节的伯德图,传递函数：G(s) = K,频率特性：G(j) = K,对数幅频特性：L() = 20lgK,对数相频特性：() = 0,() 到底是相频特性还是对数相频特性？,2、 积分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性： () = -90,当1时， ， 当10时 ， ,3、微分环节,传递函数：,频率特性：,对

16、数相频特性： () = 90,对数幅频特性：,当1时， ， ；当10时， ， 。,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,低频段( 1/T ),即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,在转折频率处，L() -3dB，()-45。,惯性环节具有低通滤波特性。,渐近线误差,5、一阶微分环节,对数相频特性：() = arctg,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,转折频率 ，在转折频率处L() 3dB，()45。,显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。,6、振荡环节（二阶振荡环节）,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性,低频段( n),对数相频特性,

17、对数幅频曲线,即高频渐近线为斜率为-40dB/dec的直线。两条渐近线的交点处频率为 ，即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。,易知：,对数相频曲线,对数相频特性是一条反正切函数曲线，相位曲线关于-90的弯点是斜对称的，不同的所对应的曲线也不同。,7、 二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，对数相频特性曲线关于零度线对称。,对数幅频特性：,对数相频特性：,8、延迟环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,如果系统串联一个延迟环节，那么将

18、不改变系统的幅频特性，但系统的相角滞后会显著增大。,比例环节的幅值为平行横轴的直线，其相位为0线，与无关； 积分环节和微分环节的幅值为过(1, 0)点，斜率分别为 ，对称于横轴的直线。相位分别为 ，与 无关； 惯性环节和一阶微分环节的幅值低频渐近线为0分贝线，高频渐近线斜率分别为 ，转折频率为 ，对称于横轴。相位在 范围内变化，曲线斜对称于弯点 ； 振荡环节和二阶微分环节幅值的低频渐近线为0分贝线，高频渐近线的斜率分别为 ，转角频率为 ，对称于横轴。相频特性在 范围内变化，斜对称于弯点 ； 延时环节的幅值为0分贝线，相位随呈线性变化。,可将典型环节的对数频率特性及其渐近线的特点归纳如下：,各典

19、型环节的对数频率特性图,very important,考虑系统：,三、系统开环伯德图的绘制,所以，,伯德图的绘制步骤（方法一：环节曲线叠加法）：1、将开环传递函数G(s)H(s)化为由典型环节组成的标准形式，即尾1型；2、令 ，求得 ；3、求出各环节的转折频率，作各环节的渐近线；（4、修正渐近线，得精确曲线；） 5、将各环节的对数幅值相加，得系统总的对数幅频曲线； 6、作各环节的对数相频曲线，然后相加得系统总的对数相频曲线。,？,解：,惯性环节，转折频率： 4=0.5 rad/s,振荡环节，转折频率： 5=10 rad/s,积分环节,易知系统开环包括了五个典型环节：,一阶微分环节，转折频率：2

20、=2 rad/s,比例环节,Bode Diagram,-60,-40,-20,0,20,40,0.1,-270,-180,-90,0,90,1,100,() / (deg),L()/ (dB), (rad/sec),L1,L2,L3,L4,L5,L(),(),1,2,3,4,5,-20dB/dec,-40,-20,-60,2,4,5=10,实际做题时，用铅笔虚线绘出L1-L5， 1-5 , 实线绘出总的L、。把各转折频率绘出，同时L、 的各转折频率处要对应上。把总的L的折线的斜率绘出。,将各环节的对数幅频曲线叠加（总的渐近线如红色），将各环节的对数相频曲线叠加。如蓝线，就是系统的伯德图。,Bo

21、de图特点,最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为 -20v dB/dec；,注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：,当1rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1 rad/s时的数值等于20lgK，坐标为（1，20lgK） 。,伯德图的绘制步骤（方法二：顺序频率法）：,（比例环节 + v个积分环节）,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。,惯性环节，斜率下降20dB/dec；振荡环节，下降 40dB

22、/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升 40dB/dec。,方法二的绘制步骤：,1、将开环传递函数表示为典型环节的串联，各因式标准型式即尾1型：（同法一）,3、计算20lgK，在1 rad/s 处找到纵坐标等于 20lgK 的点，过点“A”（坐标为（1，20lgK）作斜率等于 -20v dB/dec的直线。若第一个转折频率T11 ，则该直线经过A点。,4、从左向右延长渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率。,5、对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。,6、相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。（同法一）,解：,开环增益K =100，即20lgK =40，低频渐

23、近线斜率为0 dB/dec。,各环节转折频率分别为：,5.4 控制系统闭环频率特性的Bode图,设有单位反馈控制系统,其闭环频率特性 与开环频率特性 之间关系为：,显然，闭环幅频特性 与闭环相频特性 为：,一、由开环频率特性估计闭环频率特性,一般实用系统的开环频率特性有低通滤波性，即：低频时 ，分母中1可忽略去不计，则 ；高频时 ，分母中 可忽略去不计，则 ；中间频段的形状随系统阻尼比的不同而有较大的变化。,将频率逐点取值，可分别计算出其闭环幅频特性 与闭环相频特性 ，作出图 。 此图不同于伯德图，其横轴是对数频率，幅频图的纵轴是 的值，不是20lgA()的值。,闭环系统对数频率特性图,当系统

24、为非单位反馈系统时，其闭环频率特性为: 因此对非单位反馈系统，可将其看成是前向通道传递函数是 的单位反馈环节与 环节串联而成。,二、闭环频域性能指标,1、零频幅值A(0),它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。在频率0时，若A(0)=1，则输出的幅值能完全准确地反映输入幅值，无误差。 A(0)越接近1，系统的稳态误差越小，反映了系统的稳态精度。A(0)是否为1，可判断系统是否为无差系统。,2、复现频率M与复现带宽0- M,若事先规定一个 作为反映低频输入信号的允许误差，那么 就是幅频特性A()与A(0)的差第一次达到 时的频率值，称为复现频率。当 时，输出就不能准确“复

25、现”输入。因此，定义 为复现频率， 的频率范围为复现带宽，亦称工作带宽。,3、谐振频率r与相对谐振峰值Mr,幅频特性A()处出现最大值Amax时的频率称为谐振频率 r 。定义 为谐振比或相对谐振峰值 Mr 。,相对谐振峰值 为谐振频率 所对应的闭环幅值，它反应系统瞬态响应的速度和相对稳定性。 对于二阶系统，由最大超调量 和相对谐振峰值 的计算式不难看出，它们都随 的增大而减小。可见 大的系统，相应的 也大，瞬态响应的相对稳定性就不好。 为减弱系统的振荡性，又不失一定的快速性，应适当选取 值。若取1.0 1.4，0.4 0.7，阶跃响应的超调量 25%。 谐振频率 在一定程度上反映了系统瞬态响应

26、的速度， 其值越大，则tr、tp越小，ts越大。,4、截止频率b与截止带宽0- b,A()由A(0)下降到0.707A(0)（-3分贝）的频率b称为截止频率。0-b的范围称为截止带宽，它表示超过b频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态 。,上式表明，当阻尼比 确定后，系统的b与ts呈反比。即控制系统的频带宽度越大，则该系统反应输入信号的快速性越好，这说明带宽表征控制系统响应的快速性。,频带越宽，高频噪声信号的抑制能力越差。为使系统准确地跟踪任意输入信号，需要系统具有很大带宽，而从抑制高频噪声的角度来看，带宽又不宜过大。,最小相位传递函数：在右半s平面内既无极点也无零点的传递

27、函数。,非最小相位传递函数：在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数。,最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。,非最小相位系统：具有非最小相位传递函数的系统。,二、最小相位系统与非最小相位系统,在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位范围（相位移）最小。,例：这五个系统的传递函数如下，若设 ， 哪些是最小相位系统？,解：这些系统的幅频特性相同，但相频特性不同。,在最小相位系统中，对数幅频特性的变化速率和对数相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少）。因而幅频特性和相频特性之间具有确定的单值对应关系，由对数幅频特性即可唯一地确定其相频

28、特性。即对于最小相位系统，如果给出系统的幅频特性曲线，那么其相频特性曲线就唯一确定，反之亦然。然而对非最小相位系统，却不成立。,详细内容：1、详细讲述频率响应、频率特性、幅频特性、相频特性等概念，介绍频率特性的求取方法；2、详细介绍8个经典环节的奈奎斯特图；3、归纳奈奎斯特图的一般绘制方法，并依此求解相关例题； 4、总结奈奎斯特图的起终点规律；5、详细讲授8个经典环节的伯德图；6、在一幅图中展示所有经典环节的伯德图，并总结各环节对应的伯德图的规律；7、通过例题归纳伯德图的一般绘制方法，并依此求解相关例题；8、详细介绍各个闭环频域性能指标，介绍最小相位系统。重点：详细讲授各个经典环节的奈奎斯特图。绘制奈奎斯特图的一般步骤。经典环节的伯德图。绘制伯德图的一般步骤。各闭环频域性能指标。难点：二阶振荡环节的奈奎斯特图。绘制奈奎斯特图时如何计算起终点、与坐标轴交点的实、虚、幅、相频特性。绘制伯德图的顺序频率法。,本章教学大纲,作业布置：课后题5-9的6题、8题，5-11的4题、5题，下次课交。,Thanks !谢 谢！,