结构力学9--矩阵位移法.ppt

1、,第九章 矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method,1、概述,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,4、连续梁的整体刚度矩阵,5、刚架的整体刚度矩阵,6、荷载列阵,7、计算步骤及算例,8、忽略轴向变形时刚架的整体分析,9、桁架结构的整体分析,第九章 矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method,10、其它问题的计算,3,矩阵代数复习,1、矩阵定义,一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。,2、方阵,3、行矩阵和列矩阵,一个单独的行组成

2、的矩阵称为行矩阵，如：,由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：,4,4、纯量,仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。,5、矩阵乘法,两个规则：,（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即,（2）不具有交换律，即,5,6、转置矩阵,将一个矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：,其转置矩阵为,当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若,A=B C D,7、零矩阵,元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。,6,任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即,7,10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若,一个矩阵的

3、逆矩阵由以下关系式定义：,矩阵求逆时必须满足两个条件：,（1）矩阵是一个方阵。,（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。,正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即,1）结构分析方法 （1）传统方法前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。 （2）矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。,1、概述,2）基本思路,（1）手算位移法的主要计算步骤 取基本体系

4、构造各自独立的单跨超静梁的组合体； 写出杆端弯矩表达式建立各杆件的杆端弯矩与杆 端位移间的关系；,1、概述, 根据结点、截面的平衡条件建立力的平衡方程，即位 移法方程。 （2）矩阵位移法的主要计算步骤 结构离散化划分单元； 单元分析建立单元的杆端力与杆端位移间的关系，形 成单元刚度矩阵； 整体分析建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关 系，形成结构整体刚度矩阵，即位移法方程。,1、概述,下面用一个例题来说明矩阵位移法的基本思路。,用位移法解该题：,（2）杆端弯矩：,（1）未知量：,1、概述,（3）建立方程：,（4）解方程得：,（5）回代得：杆端弯矩, , , ,把以上解题过程写成矩阵形式：（1

5、）确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。（2）杆端弯矩表达式（按杆件来写）,（3）位移法方程：, , , ,把位移法方程写成矩阵形式：,（5）回代得：杆端弯矩,1 2 3,123,（4）解方程得：,1）单元划分及编号,在杆系结构中以自然的一根直杆或曲杆为一个单元（不能是折杆），并以加圈的数字为记号。如图所示为刚架的单元划分。,2）结点编号及未知量确定,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,直接对未知量编号直接对结点编号,因此一个刚结点就有3个位移：水平位移、竖向位移和转角。一个铰结点有2个位移：水平位移和竖向位移，而且支座位移也要作为未知量。,在确定未知量时：, 不再忽略轴向变形；

6、, 所有单元都是两端固定的。,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：结点编号如图所示，,先处理法：,【例题1】,因此未知量为6个。,结点编号如图所示，编号顺序为：先水平，后竖向，再转动。位移为零编“0”号。,由于：,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：单元编号如图所示，,3）建立坐标,（1）局部坐标,作用：用于表明杆端力及单元定位。,方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。 标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴 不标出。单元的起始点是“1”，终点是“2”。,单元两头的编号按先起点、后终点的顺序写成列阵，称为单元定位向量。,（2）整体坐标,方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。,作用：

7、用于建立位移法方程。这是因为建立位移法方程时每个结构需要有一个统一的坐标系。,4）单元刚度矩阵,单元刚度矩阵两端固定单元，由两端发生单位位移而产生的杆端力的矩阵形式。,本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵。,以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,当两端固定单元的两端同时发 生六个位移时，六个杆端力可利用 叠加原理求出：,把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,其中：,-单元杆端

8、位移列阵,-单元刚度矩阵,也可写成：,1,2,2,1,单元刚度矩阵的性质：, 单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。, 其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位 移引起的杆端力。由反力互等定理可知kij=kji，因此单元 刚度矩阵是对称矩阵。, kij表示第j个杆端位移等于1，其它端位移等于0时，引起 的第i个杆端力分量。, 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 ，不存在 逆矩阵。,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，得到特殊情况下的单元刚度矩阵。,1,2,2,1,1 2 3 4 5 6,123456,例如：已知两端固定单元两头只发生

9、转角，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法：把刚度矩阵的第1、2、4、5行和列划掉。,又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把刚度矩阵的第1、4行和列划掉。,1 2 3 4 5 6,123456,再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。,1 2 3 4 5 6,123456,轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的，但考虑到斜杆在整体坐标中的需要，写成44的。,1 2 3 4,1234,2、局部坐标下的单元刚度矩阵,为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，则需要结构有一套统一的

10、整体坐标系。因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：,把两个坐标系下杆端力的关系写成矩阵形式：,其中： 单元坐标转换矩阵,其中：,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,单元坐标转换矩阵，是一正交矩阵：,局部坐标下的单元刚度方程：,将、式代入式，有：,与 比较，令：,杆端力与杆端位移在局部坐标和整体坐标下的关系式：,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,等式两边前乘 ，得：,与 同阶，性质类似：, 一般单元的 是奇异矩阵。, 是对称矩阵。, 矩阵中的系数kij表示在整体坐标系中第j个杆端位移分量 等于

11、1时引起的第i个杆端力。,整体坐标下的单元刚度矩阵：,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,计算步骤：,（1）编号与建立坐标 对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处 理法进行编号； 对每个单元进行编号； 对每个单元分别建立局部坐标； 对结构建立一套整体坐标。,（2）写出每个单元在局部坐标下的单元刚度矩阵。,（3）写出每个单元的坐标转换矩阵。,（4）写出每个单元在整体坐标下的单元刚度矩阵。,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,【例题5】求图示结构各杆件在整体坐标下的单元刚度矩阵，杆 长5m，A=0.5m2，I=1/24m4，E=3104Mpa。,解：（1）编号、建立坐标如图所示。,（2）写出各单元局部坐标

12、下的 单元刚度矩阵。,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,单元参数计算如下：,（2）写出各单元局部坐标下的单元刚度矩阵,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,由于两根杆件的参数相同，因此这两根杆件局部坐标下的单元刚度矩阵是相同的。,（3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，即：,1 2 3 0 0 0,1 2 3 0 0 0,1,2,2,1,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,解：编号建立坐标如图所示。,由于单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,单元：,转换矩阵为：,3、整体坐标下的单元刚度矩阵,3、整体坐标下

13、的单元刚度矩阵,1,1,2,2,1,2,3,0,0,0,0,0,0,3,2,1,54,按传统的位移法,1,2,3,每个结点位移对F的单独贡献,F1,F2,F3,4i1,2i1,0,2i1,4i1+4i2,2i2,0,2i2,4i2,1,2,3,=,F=K,根据每个结点位移对附加约束上的约束力F的贡献大小进行叠加而计算所得。,传统位移法,4、连续梁的整体 刚度矩阵,55,一、 单元集成法的力学模型和基本概念,分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成,令 i2 =0，则,k =,4i1,2i1,4i1,2i1,F2,=,1,2,（a）,（b）,F2,=,4i1,2i1,4i1,2

14、i1,0,0,0,0,0,1,2,3,单元 1 的贡献矩阵,单元 1 对结点力F的贡献,略去其它单元的贡献。,56,k =,4i2,2i2,4i2,2i2,F2,=,4i1,2i1,4i1,2i1,0,0,0,0,0,1,2,3,K ,F =,设 i1 =0，则,单元 的贡献矩阵,单元对结点力F的贡献,略去单元的贡献。,57,k,K,K,F=F,+F,=（K,+K,）,1,2,F=K,整体刚度矩阵为：,单元集成法求整体刚度矩阵步骤：,根据单元和单元分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：,58,2i2,2i2,4i2,K=,4i1,2i1,4(i1+i2),2i1,0,2i2,0,2i2,4i

15、2,4i1+4i2,59,二、按照单元定位向量由,(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。,(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。,以连续梁为例,位移统一编码，总码,单元,对应关系,局部码总码,单元定位向量,(1)1,(2)2,=,(1)2,(2)3,=,位移单独编码局部码,由单元的结点位移总码组成的向量,60,单元,单元,(1),(2),(1),(2),4i1,2i1,2i1,4i1,k =,(1),(2),(1),(2),4i2,2i2,4i2,2i2,单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。,单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度

16、矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。,单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。,61,三、 单元集成法的实施,（定位 累加）,K,（1）将K置零，得K=0；,（2）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K；,（3）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K+K；,按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵K。,62,1,2,3,0= 0,（1）结点位移分量总码,（2）单元定位向量,=,=,=,（3）单元集成过程,1,2,2,1,k =,2,3,3,2,k =,0,3,3,0,K =,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2

17、,4i1,4i2+4i3,4i1+4i2,例.求连续梁的整 体刚度矩阵。,63,四、整体刚度矩阵 K 的性质,（1）整体刚度系数的意义: Kijj=1 (其余=0)时产生的结点力Fi,（2）K是对称矩阵,（3）对几何不变体系，K是可逆矩阵，如连续梁,F=K,=K-1F,（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁,1,2,3,n,n+1,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2+4i3,4i1+4i2,4in,2i3,2in,思路要点：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；,与连续梁相比： (1)各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移； (3)要采用整体座标；(4)要处理非

18、刚结点的特殊情况。,一、结点位移分量的统一编码总码, =1 2 3 4 T,规定：对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。,=uA vA A C T,整体结构的结点位移向量为：,相应地结点力向量为：,= XA YA MA MC T,F = F1 F2 F3 F4 T,5、刚架的整体刚度矩阵,二、单元定位向量,单元,单元,局部码总码,局部码总码,（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 4,（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 0,三、单元集成过程,K=,11,12,13,21,22,23,31,32,33,61,62,63,66,16,26,36,11,

19、12,13,21,22,23,31,32,33,四、铰结点的处理,K,求单元常数,T,单元刚度矩阵,程序设计框图（集成整体刚度矩阵）,刚结点：变形连续，截面1和截面2具有相同的结点位移。,铰结点：部分变形连续，截面1和截面2具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。,C1,C2,结点位移分量总码,结点C1, 4 5 6 ,结点C2, 4 5 7 ,单元定位向量,K=,解：编号及坐标如图所示。 单元刚度矩阵如下。 单元：,0 0 0 1,0001,1,2,【例题】求图示连续梁的整体刚度矩阵。,1,2,整体刚度矩阵：,1,2,2,1,0 1 2 0,0120,单元：,把位移法方程写成矩阵形式：,1列

20、n行，n-未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填0。,-整体刚度方程,荷载列阵通常有两部分组成:,1）结点荷载列阵,6、荷载列阵,其中 -荷载列阵,-结点荷载列阵,-等效结点荷载列阵,【例题11】求图示结构结点荷载列阵。,【例题12】求图示结 构结点荷载列阵。,（a）内力=（b）内力+（c）内力（b）内力：固端力可查表（c）内力：由结点荷载引起的内力，用矩阵位移法求解,2）等效结点荷载列阵（由节间荷载引起的）,把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向加在结点上，即为等效结点荷载。,6、荷载

21、列阵,取出“1”号结点,绿色的为节间荷载产生的固端力；红色的为附加装置中产生的反力。,求出单元、的固端力，并按局部坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元固端力列阵。,把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。,对于单元由于局部坐标与整体坐标一致，并把定位向量标上，因此有：,单元在整体坐标下的固端力列阵为：,对于单元 ，由于局部坐标与整体坐标间的夹角为900，因此有：,按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。,（1）求出局部坐标下的单元固端力列阵；,（2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；,（3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。,等效结点荷载的求解步骤

22、：,6、荷载列阵,【例题13】求图示结构的等效结点荷载。,解：（1）求局部坐标下单元固端力列阵,单元,单元,1 2 3 0 0 4,6、荷载列阵,（2）求整体坐标下单元固端力列阵,123000,6、荷载列阵,1234,（3）求等效荷载列阵,【例题14】图所示结构的内部温度比原先升高了200度，室外温 度比原先降低了100度，杆件的膨胀系数为 ，杆件的截面高度 为h，请求出等效结点荷载。,5m,5m,解：（1）编号及坐标设置,（2）求出各单元局部坐标下的固端力列阵,由杆件两边温差产生的固端力，再加上温度轴向引起的固端力，列阵如下所示。,（3）求出各单元整体坐标下的固端力列阵：,单元的局部坐标与整

23、体坐标一致，因此有：,单元的局部坐标与整体坐标的夹角=90，因此有：,（4）求出等效结点荷载列阵 该题的效结点荷载列阵应该是1列5行的，具体如下：,（1）编号及建立坐标；,（3）求出整体坐标系下的单元刚度矩阵 ；,（5）求出结构的荷载列阵 ；,（6）解方程 ，求出结点位移 。,（7）按公式： 求出各杆杆端内力。,计算步骤：,（2）求出局部坐标系下的单元刚度矩阵 ；,（4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 ；,7、计算步骤及算例,K,求单元常数,T,F,原始数据、局部码、总码,解方程K=F求出结点位移 ,开始,结束,【例题15】求图示结构的内力。横梁b1h1=0.5m 1.26m, 立柱b2h2=

24、0.5m 1m。,解：（1）编号、建立坐标,7、计算步骤及算例,（2）局部坐标下的单元刚度矩阵,梁的参数计算：,柱的参数计算：,7、计算步骤及算例,7、计算步骤及算例,单元、局部坐标下的单元刚度矩阵如下：,7、计算步骤及算例,单元局部坐标下的单元刚度矩阵如下：,（3）整体坐标下的单元刚度矩阵,7、计算步骤及算例,单元、坐标转换矩阵为（ ）：,转换后单元、在整体坐标下的刚度矩阵为：,1 2 3 0 0 0,123000,4 5 6 0 0 0,456000,7、计算步骤及算例,单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。,1 2 3 4 5 6,123456,7、计算步骤及算例,（4）按单元

25、定位向量形成整体刚度矩阵,三个单元的定位向量如下：,把三个单元的定位向量标在整体单元刚度矩阵边上。,7、计算步骤及算例,1 2 3 4 5 6,123456,7、计算步骤及算例,（5）求荷载列阵,（a）局部坐标下的 固端力列阵,（b）整体坐标下的 固端力列阵,（c）等效结点 荷载列阵,123000,123456,由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点荷载列阵。,7、计算步骤及算例,（6）解方程,由方程解得结点位移如下：,7、计算步骤及算例,（7）求杆端力,单元：,7、计算步骤及算例,单元：,7、计算步骤及算例,单元：,7、计算步骤及算例,（8）根据杆端力绘制内力图,7、计算步骤及算例,注意

26、：在矩阵位移法中，轴力与剪力的符号是以与局部坐标一致为正，相反为负。但画内力图时，轴力以受拉为正，受压为负；剪力以使隔离体发生顺时针转为正。,对图示刚架进行分析时忽略轴向变形。,（2）单元定位向量,因此，1、2、3号点的竖向位移等于零，并且水平位移相等。,（1）编号及建立坐标,8、忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 0 2 1 0 3,10 2 1 0 3,1,1,2,2,（3）整体坐标下的单元刚度矩阵,8、忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 0 2 0 0 0,10 2 0 0 0,1,1,4,4,8、忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 0 4 0 0 0,10 4 0 0 0,3,5,3,5,1

27、 2 3 4,1234,（4）形成整体刚度矩阵,处理方法还有：对考虑轴向变形的整体刚度矩阵，把已知位移为零的行和列划掉，把已知位移相等的行和列相加。,1 2 3 4 5 6 7,1234567,8、忽略轴向变形时刚架的整体分析,12,12,-30,12+12,-30,【例题16】求图示桁架内力(EA=常数)。,解：（1）编号及坐标设置,（2）局部坐标下单元刚度矩阵,9、桁架结构的整体分析,单元、,单元,单元,（4）整体刚度矩阵,（5）结点荷载列阵,1 2 3 4,1234,1 2 3 4,9、桁架结构的整体分析,（6）解方程：,解得：,9、桁架结构的整体分析,（7）杆端力计算,【例题17】请求

28、出图所示组合结构的整体刚度方程。,解：（1）编号及坐标设置如图所示,10、其它问题的计算,（2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵,（2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵,（3）写出整体坐标下的单元刚度矩阵,单元的整体坐标与局部坐标一致，因此有：,单元整体坐标与局部坐标的=90，因此有：,单元整体坐标与局部坐标的=45，因此有：,（4）按定位向量拼装整体刚度矩阵,（5）结点荷载列阵,（6）结点位移列阵,（7）结构的整体刚度方程,【例题18】图示结构发生了如图所示的支座位移，请求出结构 的整体刚度方程。杆件的参数同例题1。,整体刚度矩阵如下所示：,（5）求等效结点荷载列阵,a、求出、单元局部坐标下的固端力列阵,b、求出、单元整体坐标下的固端力列阵。,单元的局部坐标与整体坐标的夹角=90，因此有：,c、求出等效结点荷载列阵,等效结点荷载列阵应该是1列4行的，如下所示：,（6）求出整体刚度方程,